1.2.1 充分条件与必要条件课时教学实录

充分条件与必要条件

[学习目标]1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义(重点)．2.掌握充分条件、必要条件、充要条件的判断方法(难点)．3.能够写出命题的充分条件、必要条件及充要条件．

一、知识提炼、梳理

1．充分条件与必要条件

2．充要条件

一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．

温馨提示: 判断充分、必要条件首先确定谁是条件，谁是结论，然后利用定义判断

二、思考尝试、夯实

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若p是q的充分条件，则q是p的必要条件．(

) (2)“a＝1”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分条件．(

) (3)“x＞15”是“x＞10”的必要不充分条件．(

) 3(4)若α∈(0，2π)，则“sin α＝－1”的充要条件是“α＝π”．(

) 2解析：(1)若p为q的充分条件，p⇒q，则q为p的必要条件，(1)正确．(2)若a＝1，则(a－1)(a－2)＝0；但(a－1)(a－2)＝0推不出a＝1.则a＝1是(a－1)(a－2)＝0的充分不必要条件，则(2)错误．(3)“x＞15”⇒“x＞10”但“x＞10”

＞10”的充分不必要条件，则(3)不正确．

3(4)因为当α∈(0，2π)时，α＝π⇔sin α＝－1，故(4)正确．

2答案：(1)√

(2)×

(3)×

(4)√

2．“θ＝π”是“sin θ＝0”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：θ＝π⇒sinθ＝sin π＝0，但sin θ＝0⇒θ＝kπ，k∈z

θ＝π，则“θ＝π”是“sinθ

“x＞15”，则“x＞15”是“x

＝0”的充分不必要条件．

答案：A 3．若“x>a”是“x>2”的充分条件，则实数a的取值范围是________．

解析：由题意得{x|x>a}⊆{x|x>2}，所以a≥2. 三、核心突破、讲练互动

类型1:条件关系的判断(自主研析) [典例❶]指出下列命题中，p是q的什么条件．

(1)p：α＝0，q：cos α＝1；

(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；

(3)在△ABC中，p：a>b，q：sin A>sin B；

解：(1)因为a＝0⇒cos α＝1，cos α＝1

α＝0，

所以p是q的充分不必要条件．

(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以推出(a－2)(a－3)＝0，因此p是q的必要不充分条件．

ab(3)因为由正弦定理＝，

sin Asin B知a>b⇒sin A>sin B，sin A>sin B⇒a>b，

所以p是q的充要条件．

归纳升华：

充分条件、必要条件的判断方法

[变式训练](2017·天津卷)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：由2－x≥0，可得x≤2，由|x－1|≤1，可得－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，因为{x|0≤x≤2}{x|x≤2}，所以“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．故选B. 答案：B

类型2：已知条件关系求参数的取值范围

(互动探究) [典例2]：已知p：0＜x－a＜a+1，q：(x－2)(x－3)＜0，且q是p

的充分而不必要条件，试求a的取值范围．

解：设q，p表示的范围为集合A，B，则A＝(2，3)，B＝(a，2a+1)．由于q是p的充分而不必要条件，则有AB，即得1≤a≤2. 所以a的取值范围为[1，2]．

[迁移探究1](改变问法)若将“q为p的充分不必要条件”改为“q为p的必要不充分条件”呢？

2a13解a2解：设q，p表示的范围为集合A，B，则A＝(2，3)，B＝(a，2a+1)．由于q是p的必要而不充分条件，则有BA，即a2a1a2a1或a2解得a-1 2a13所以a的取值范围为a-1

[迁移探究2](改变问法)若将“p为q的充分不必要条件”改为“p为q的充要条件”呢？

解：若p为q的充要条件，即A＝B＝(2,3)．

所以

a. 归纳升华

1．利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q对应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充分必要条件．

2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，可根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为对应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)求解．

类型3:充要条件的证明

a·2x＋a－2[典例❸]证明：函数f(x)＝(x∈R)是奇函数的充要条件是a＝1. 2x＋1证明：充分性：

2x－1当a＝1时，则函数化为f(x)＝x，

2＋11－1－x2－12x1－2x2x－1所以f(－x)＝－x＝＝＝－x＝－f(x)，

2＋111＋2x2＋1＋12x所以函数f(x)是奇函数．

必要性：

当f(x)是奇函数时，有f(－x)＝－f(x)，

a·2x＋a－2a·2x＋a－2所以＝－

－2x＋12x＋1－a＋（a－2）·2xa·2x＋a－2所以＝－

2x＋12x＋1所以a＋(a－2)·2x＝－a·2x－a＋2，

所以2(a－1)·(2x＋1)＝0，

所以a＝1. a·2x＋a－2综上所述，函数f(x)＝(x∈R)是奇函数的充要条件是a＝1. 2x＋1归纳升华

有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件⇒结论”是证明命题的充分性，由“结论⇒条件”是证明命题的必要性．证明过程要分两个环节：一是证充分性；二是证必要性．

[变式训练]求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 证明：充分性：因为ac＜0，所以

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判断式Δ＝b2－4ac≥0，

c所以

方程一定有两个不等实根，分别设为x1，x2，则x1x2＝＜0，

a所以

方程的两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．

必要性：因为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，分别设为x1，x2，

c则由根与系数的关系，得x1x2＝＜0，即ac＜0.

a综上，可知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0. 课堂小结

1．判断p是q的什么条件，既要判断原命题“若p，则q”的真假，又要判断逆命题“若q，则p”的真假．

2．在确定参数的取值范围时，关键是分清两个命题的推出关系，在应用集合的关系解题时，要分清集合的包含关系，并注意应用数轴化抽象为直观．

3．证明充要条件，既要证明充分性又要证明必要性．