3.1.1 空间向量及其加减运算评课稿

§3.1.1

空间向量及其加减运算

学习目标

1、通过本节的学习，使学生理解空间向量的有关概念。

2、掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。

学习重点

1、空间向量的有关概念

2、空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。

3、空间向量的加减运算在空间几何体中的应用。

学习难点

1、空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。

2、空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。

学习过程

一、课前准备

【知识回顾】（预习教材P84-85)完成下列表格 用类比（表格）形式对比给出空间向量的相关定义，

内容

平面向量

空间向量

概念

在平面上，既有大小又有方向在空间，具有大小和方向的的量

量

画法及其表用有向线段AB画出来；表用有向线段AB画出来；表示示

示方式：AB或a

方式：AB或a

零向量

----------------------------叫做零-------------------叫做零向向量，零向量的方向----------- 量，零向量的方向------------- 平面中模为------的向量

空间中模为---------的向量

平面中长度-------，方向--------空间中长度------，方向的两个向量，

-------的两个向量，

平面中方向-------且模--------空间中方向-------且模------的向量

的向量

交换律，

交换律，

结合律（图示）

结合律（图示）

1 单位向量

相反向量

相等向量

加法法则

加法运算律

可借助图形理解平面向量加减运算及其运算律的意义

减法法则

可借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义

二新课导学

（一）：自主学习：现在我们来研究空间向量有哪些知识、概念和特点呢？与平面向量有什么区别和联系？平面向量的运算法则、运算律在空间中适用吗？

1、平面向量、空间向量的基本概念

向量概念：在平面上（对比：在空间中），既有大小又有方向的量叫向量；画法：用有向线段AB画出来；表示方式：AB或a（用小写的字母表示）；

零向量：（在平面、空间中）长度为零的向量叫做零向量，零向量的方向是任意的；

单位向量：（在平面、空间中）模为1的向量称为单位向量；

相反向量：（在平面、空间中）长度相等，方向相反的两个向量，互称为相反向量；

相等向量：（在平面、空间中）方向相同且模相等的向量称为相等向量；向量的平移。

aA C aB O ba

ab

bA B 

O bb

2、平面向量、空间向量的加法法则：（称为三角形法则或平行四边形法则）：记为ab；几何意义：如图为ab为平行四边形的对角线OB，或三角形ABO中边OB。减法法则：记为ab；几何意义：如图中ab为平行四边形的对角线AC，方向指向被减向量。

3、运算法则：

2

（1）加法交换律：____________________ （2）加法结合律：____________________

（二）：探究：（课本中P85页）结合平行六面体，数形结合，理解空间向量运算的加法交换律和结合律。（学生做、学生讨论、学生回答）

三、典例精析

例1

已知平行六面体ABCD－A′

B′

C′

D′化简下列向量表达式，标出化简结果的向量. ⑴ABBC C′

D′

⑵ABADAA

A′

B′

1ABADCC⑶

2D

C 1

⑷(ABADAA)

3A B

例2

已知空间四边形ABCD，连结AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：

（1）ABBCCD

A

1（2）AB(BDBC)

2D

B G 1M （3）AG(ABAC)

C 2

四、当堂检测

1、如图：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与A1DAD1MB1CBC1B1D1的交点。若ABa，ADb，AA1c，则下列向量中与BM相等的向量是（

）

11A、abc

22

3

1abc

B、2211abc

C、2211D、abc

222、平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、P、Q是A1A、AB、BC、CC1、C1D1、D1A1

的中点，则

（

）

A、EFGHPQ0

B、EFGHPQ0

C、EFGHPQ0

D、EFGHPQ0

3、在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式：

① (A1D1A1A)－AB；

② (BCBB1)－D1C1；

③ (ADAB1)+DD1；

④ (B1D1A1A)－DD1，

其中运算结果为向量B1D1的是（

）

A、①②

B、③④

C、②④

D、①③

4、在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，下列关于AC1的表达式中错误的是

A、AA1A1B1A1D1

B、ABDD1DC11

C、ADCC1DC11

1D、(AB1CD1)A1C1

215、P为正六边形ABCDEF外一点，O为中心，则PAPBPCPDPEPF（

）

A、PO

B、3PO

C、6PO

D、0

五：提出疑惑（易混点）（在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要）

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点（易混点）

4 疑惑内容（易混内容）

〖学习小结〗

课后提升

【必做题】

6、已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，则ABCB（

）

A、AD

B、BD

C、AC

D、0

7、在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，G是CC1的中点，AC∩BD=O，则下列式子中正确的是

(

) 111A、OG=AB+AD+AA1

222111B、OG=AB+AD–AA1

222111C、OG=AB–AD+AA1

222111D、OG=AB–AD–AA1

2228、向量a,b,c两两夹角都是60，|a|1,|b|2,|c|3，则|abc|

。

9、已知正方体ABCDA1B1C1D1，点E,F分别是上底面AC1的中心，11和侧面CD求下列各式中的x,y的值：

（1）AC1x(ABBCCC1)，则x

；

（2）AEAA1xAByAD，则x

；y

；

（3）AFADxAByAA1，则x

；y

；

5

C为D

10、如图，在空间四边形ABCD中，E,F分别是AD与BC的中点，

A1求证：EF(ABDC)．

E2

DBF

C

11、如图，在平行六面体ABCDABCD中，设ABa，ADb,AAc，E,F分别是AD,BD中点，

（1）用向量a,b,c表示EF； （2）化简：ABBBBCCD2DE；

A'ECFABD'C'B'D【选做题】

12、设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心求证：1AG(ABACAD)

3

A B G C D

6