1.2.1 充要条件教案范文

选修２—１ 1.２.２ 充要条件（教案）

【教学目标】

1．理解充要条件的概念；

2．根据命题的条件与结论的关系判断充要条件．

【重点】充要条件

【难点】弄清条件p的充要条件与条件p的关

【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第11页～第12页）

1．若pq且qp,即pq则p是q的

充要

条件,q也是p的

充要

条件．

2．若pq但q3．若p4．若p【基础练习】

1．用符号＂＂与＂＂或＂＂填空：

p，则p是q的

充分不必要

条件．

q但qp，则p是q的

必要不充分

条件．

q且qp，则p是q的

既不充分也不必要

条件．

（1）若p的充分条件是q,则pq；若p的必要条件是q,则pq．

（2）若p是q的充分不必要条件；则pq，q（3）若p的充分不必要条件是q；则p

p．

q，qp．

p．

（4）若p的必要不充分条件是q；则pq，q

2．下列形如“若p,则q”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p是q的什么条件．

（1）若平面外一条直线a与平面内一条直线平行，则直线a与平面平行；

（2）若数列an的通项公式是annc(c是常数），则数列an是公差等于１的等差数列；

（3）若直线a与平面内的两条直线垂直,则直线a与平面垂直．

解：(1)原命题和它的逆命题都是真命题,所以p是q的充要条件；

（2）原命题和它的逆命题都是真命题,所以p是q的充要条件；

(3) 原命题是假命题，逆命题是真命题,所以p是q的必要不充分条件；

3．若集合P．

1、2、3、4，Qx|0x5,xR，则（

A

）

1

（A）“xP”是“xQ”的充分不必要条件

（B）“xP”是“xQ”的必要不充分条件

（C）“xP”是“xQ”的充要条件

（D）“xP”是“xQ”的既不充分也不必要条件

4．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么（

B

）．

（A）甲是乙的充分不必要条件

（B）甲是乙的必要不充分条件

（C）甲是乙的充要条件

（D）甲是乙的既不充分也不必要条件

【典型例题】

例1下列各题中，哪些p是q的充要条件？

（1）p:四边形的对角线相等，q:四边形是平行四边形；

（2）p:b0，q:函数f(x)ax2bxc是偶函数；

（3）p:x0,y0，q:xy0；

（4）p:ab，q:acbc．

【审题要津】判断p是否是q的充要条件，只要判断pq且qp是否同时成立．

解：在（１）中pq，在（２）（４）中pq，在（３）中qp，所以，（２）（４）中的p是q的充要条件，（１）（３）中的p不是q的充要条件．

变式练习：下列各题中，p是q的什么条件？

（1）p：x23x4,q：x3x4；

(x3)(x4)0；

（2）p：x30,q：（3）p：b4ac0(a0),q：axbxc0(a0)有实根；

（4）p：x1是方程axbxc0的一个根,q：abc0；

答案：（1）必要不充分 （2）充分不必要 （3）充要条件 （4）充要条件

例2

求关于x的不等式ax21ax对于一切实数x都成立的充要条件．

【审题要津】求“关于x的不等式ax21ax对于一切实数x都成立的充要条件”就是求“关于x的不等式ax21ax对于一切实数x都成立”的等价条件. 解：“不等式ax21ax对于一切实数x都成立”等价于

a0a0或a0a0或0a40a4

0222变式练习：1.0x5是不等式|x2|4成立的（

A ）.

2

(A)充分不必要条件

(C)充要条件

(B)必要不充分条件

(D)既不充分也不必要条件

2. 一元二次方程ax22x10(a0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（

C ）. (A)a0

(B)a0

(C)a1

(D)a1

3.方程mx2+2x+1=0有异号两根的充要条件是m0．

例3 已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：dr是直线l与

⊙O相切的充要条件．

【审题要津】设p:dr,q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性（pq）和必要性(qp)即可．

证明：（１）充分性（pq）：作OPl与点P，则OPd．若dr，则点P在⊙O上．在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ.在RtOPQ中，OQOPr．所以，除点P外直线l上的点都在⊙O的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P．所以直线l与⊙O相切．

（２）必要性(qp)：若直线l与⊙O相切，不妨设切点为P，则OPl．因此，dOPr．

【方法总结】证明充要条件要分别证明充分性和必要性，也可以证明p的等价条件是q．但要注意弄清充分性和必要性分别是哪一个命题．

变式练习：求证实系数一元二次方程x2pxq0有两个异号根的充要条件是q0.

证明：（1）先证充分性

∵q0.

∴方程x2pxq0的p24q0

∴方程xpxq0有两个不相等的实根，设其为x1，x2。

∵x·1x2q0

∴方程xpxq0有两个异号实根

（2）再证必要性

∵方程xpxq0有两个异号实根，设其为x1，x2

∴x·1x20

∵x·1x2q

222

3

∴q0

由（1）（2）原命题得证。

1．已知实系数一元二次方程ax2bxc0(a0)，下列结论中正确的是（

C

）．

（1）b4ac0是这个方程有实根的充分不必要条件；

（2）b4ac0是这个方程有实根的必要不充分条件；

（3）b4ac0是这个方程有实根的充要条件；

（4）b4ac0是这个方程有实根的充分不必要条件．

（A）（1）（3）

（B）（3）（4）

（C）（1）（3）（4）

（D）（2）（3）（4）

２．AB是A∪B＝B的（

C

）．

（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件

３．“ab”是“222211”的（

D

）．

ab（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件

４．2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是（ D ）．

（A）－1＜x＜3 2（B）－1＜x＜0 2（C）－3＜x＜1

（D）－1＜x＜6 25.直线l1:x2ay10与l2:2xay10平行的充要条件是a0．

6．给出下述条件：①四边形为等腰梯形．②四边形有两个角等于90º．③四边形有两个内角的和等于180º．④四边形的一个外角等于其内对角．则其中是四边形内接于圆的充分但不必要条件是 ① ，是四边形内接于圆的必要但不充分条件是 ③ （填写序号）．

7.若M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则M是Q的

充分不必要

条件．

8.求证：关于x的方程axbxc0有一个根为１的充要条件是abc0．

证明：（１）充分性：∵abc0，

∴cab，

∴axbxc0即为axbxab0

即

(x1)a(x1)b0

2所以，x1是方程axbxc0的一个根．

2222（２）必要性：∵方程axbxc0有一个根为１，

将x1代人方程得

abc0

所以，关于x的方程axbxc0有一个根为１的充要条件是abc0．

9.已知p：xy2；q：x,y不都是1，p是q的什么条件？

4 2

解析：要考虑p是q的什么条件，就是判断“若p则q”及“若q则p”的真假性

从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性

“若p则q”的逆否命题是“若x、y都是1，则xy2”真的

“若q则p”的逆否命题是“若xy2，则x、y都是1”假的

故p是q的充分不必要条件

注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手．

1．（2009浙江理）已知a,b是实数，则“a0且b0”是“ab0且ab0”的

(C)．

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

【解析】对于“a0且b0”可以推出“ab0且ab0”，反之也是成立的，选C．

２．（2009四川卷文）已知a，b，c，d为实数，且c＞d.则“a＞b”是“a－c＞b－d”的（

B

）．

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

【解析】显然，充分性不成立.又，若a－c＞b－d和c＞d都成立，则同向不等式相加得a＞b，即由“a－c＞b－d”“a＞b”，故选B．

选修2—１ 1.2.2充要条件（学案）

【知识要点】

1．充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的概念；

2．根据命题判断充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件．

【学习要求】

1．理解充要条件的概念；

2．根据命题的条件与结论的关系判断充要条件．

【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第11页～第12页）

1．若pq且qp,即pq则p是q的

条件,q也是p的

条件．

2．若pq但q3．若p4．若p【基础练习】

5 p，则p是q的

条件．

q但qp，则p是q的

条件．

q且qp，则p是q的

条件．

1．用符号＂＂与＂（1）若（2）若（3）若（4）若＂或＂＂填空：

p的充分条件是q,则p q；若p的必要条件是q,则p q．

p是q的充分不必要条件；则p q，q

p．

p的充分不必要条件是q；则p q，q

p．

p的必要不充分条件是q；则p q，q

p．

2．下列形如“若p,则q”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p是q的什么条件．

（1）若平面外一条直线a与平面内一条直线平行，则直线a与平面平行；

（2）若数列an的通项公式是annc(c是常数），则数列an是公差等于１的等差数列；

（3）若直线a与平面内的两条直线垂直,则直线a与平面垂直．

3．若集合P．

1、2、3、4，Qx|0x5,xR，则（

）

（A）“xP”是“xQ”的充分不必要条件

（B）“xP”是“xQ”的必要不充分条件

（C）“xP”是“xQ”的充要条件

（D）“xP”是“xQ”的既不充分也不必要条件

4．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么（

）．

（A）甲是乙的充分不必要条件

（B）甲是乙的必要不充分条件

（C）甲是乙的充要条件

（D）甲是乙的既不充分也不必要条件

【典型例题】

例1 下列各题中，哪些p是q的充要条件？

（1）p:四边形的对角线相等，q:四边形是平行四边形；

（2）p:b0，q:函数f(x)ax2bxc是偶函数；

（3）p:x0,y0，q:xy0；

（4）p:ab，q:acbc．

变式练习：下列各题中，p是q的什么条件？

（1）p：x23x4,q：x3x4；

(x3)(x4)0；

（2）p：x30,q：（3）p：b4ac0(a0),q：axbxc0(a0)有实根；

22

6

（4）p：x1是方程ax2bxc0的一个根,q：abc0；

例2 求关于x的不等式ax21ax对于一切实数x都成立的充要条件．

变式练习：1.0x5是不等式|x2|4成立的（ ）. (A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

2. 一元二次方程ax22x10(a0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（a0

(B)a0

(C)a1

(D)a1

3.方程mx2+2x+1=0有异号两根的充要条件是

．

例3 已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：dr是直线l与

O相切的充要条件．

变式练习：求证实系数一元二次方程x2pxq0有两个异号根的充要条件是q0.

7 . ） (A)⊙

1．已知实系数一元二次方程ax2bxc0(a0)，下列结论中正确的是（

）．

（1）b4ac0是这个方程有实根的充分不必要条件；

（2）b4ac0是这个方程有实根的必要不充分条件；

（3）b4ac0是这个方程有实根的充要条件；

（4）b4ac0是这个方程有实根的充分不必要条件．

（A）（1）（3）

（B）（3）（4）

（C）（1）（3）（4）

（D）（2）（3）（4）

２．AB是A∪B＝B的（

）．

（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件

３．“ab”是“222211”的（

）．

ab（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件

４．2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是（ ）．

（A）－1＜x＜3 2（B）－1＜x＜0 2（C）－3＜x＜1

（D）－1＜x＜6 25.直线l1:x2ay10与l2:2xay10平行的充要条件是

．

6．给出下述条件：①四边形为等腰梯形．②四边形有两个角等于90º．③四边形有两个内角的和等于180º．④四边形的一个外角等于其内对角．则其中是四边形内接于圆的充分但不必要条件是 ，是四边形内接于圆的必要但不充分条件是 （填写序号）．

7.若M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则M是Q的

条件．

8.求证：关于x的方程axbxc0有一个根为１的充要条件是abc0．

9.已知p：xy2；q：x,y不都是1，p是q的什么条件？

1．（2009浙江理）已知a,b是实数，则“a0且b0”是“ab0且ab0”的

(

)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

２．（2009四川卷文）已知a，b，c，d为实数，且c＞d.则“a＞b”是“a－c＞b－d”的

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

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