3.1.2 空间向量的数乘运算教学目标

3.1.2空间向量的数乘运算教学设计

主备教师：王天君

2课时

一、内容及解析

空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同，是平面向量相关知识的推广．了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．

二、目标及解析

目标定位：

1、掌握空间向量的数乘运算；

2、理解空间两个向量的共线与三个向量的共面。

目标解析：

1、空间向量的数乘运算的定义与平面向量的定义一样，实数λ与空间向量a的成绩仍然是一个向量，称为向量的数乘运算。

2、（1）如果表示向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向

量叫共线向量或平行向量；

（2）平行于同一平面的向量叫做共面向量．空间任意两个向量总是共面的．

（3）共线向量定理：对空间任意两个向量a,b,(b0), a//b

的充要条件是存在实数x，使axb；

推论：如果 l

为经过已知点 A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点 O ，点P在直线

l

上的充要条件是存在实数t，使OPOAta．其中向量

a

叫做直线

l

的方向向量。

共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量

c

与向量

a , b

共面的充要条件是存在唯一的一对实数x，y，使cxayb。

推论：空间一点P位于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对 x , y ，使yACAPxAByAC；或对空间任一定点 O ，有OPOAxABOPxOAyOBzOC（其中x + y + z = 1）。

；或三、问题诊断

学生对空间直线、平面的向量参数方程不够熟悉，要解决这一问题主要是通过图形来进行直观理解。

四、

教学支持条件

用多媒体、借助尺规进行教学，加深学生的理解。

五、教学过程：

（一）复习引入

回顾平面向量向量知识

①

平行向量或共线向量？

②

怎样判定向量b与非零向量a是否共线？[来源:学|科|网]

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.称平面向量共线定理，

（二）新课讲授

问题一：如何定义空间向量的数乘运算？

问题1：空间向量的数乘运算的定义是什么？方向如何确定？

（与平面向量一样）

问题2：空间向量的数乘运算满足哪些运算律？

数乘分配律λa＝(a1,a2,a3)(R)



数乘结合律λ（a）=（λ）a 数乘分配律：()aab (ab)ab

例1. 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点E是上底面A1B1C1D1的中心，求下列各式中x、y、z的值。

（1）BD1xADyABzAA1； （2）AExADyABzAA1。

[来源:Z。xx。k.Com]

解析：（1）BD1BDDD1ABADAA1

又BD1xADyABzAA1，所以

x＝1，y＝－1，z＝1 （2）AEAA1A1EAA1A1C1

11111AA1(A1B1A1D1)AA1A1B1A1D1ADABAA1

22222又1111AEAA1A1EAA1A1C1AA1(A1B1A1D1)AA1A1B1A1D1222211ADABAA12212又AExADyABzAA1，所以x,y,z1

设计意图：让学生知道由BD1xADyABzAA1，求x、y、z时，先用AD、AB、AA1

表示BD1，其系数就分别为x、y、z。

变式训练：课本89页练习1、2题。

1212

问题二、如何判断空间中两个向量的共线与三个向量的共面？

问题1：什么是共线向量？两个向量共线的充要条件是什么？

（与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作a//b．）

共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a∥b（a≠0），则有b＝a，其中是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数，使b＝a（a≠0），则有a∥b（若用此结论判断a、b所在直线平行，还需a（或b）上有一点不在b（或a）上）. ⑵对于确定的和a，b＝a表示空间与a平行或共线，长度为

|a|，当>0时与a同向，当<0时与a反向的所有向量. 问题2：什么是方向向量？

（如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式

OPOAta．其中向量a叫做直线l的方向向量.）

推论证明如下：

∵

l//a

，∴

对于l上任意一点P，存在唯一的实数t，使得APta．(*) 又∵

对于空间任意一点O，有APOPOA，

∴

OPOAta

，

OPOAta．

①

a，则有OPOAtAB．(**) 若在l上取AB又∵ ABOBOA ∴ OPOAt(OBOA)(1t)OAtOB．②

当t1时，OP1(OAOB)．③

22理解：⑴

表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式．

⑵

表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式．

⑶

推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或O A C D B 判定．[来源:学科网ZXXK]

问题3：什么是共面向量？

（平行于同一平面的向量叫做共面向量．空间任意两个向量总是共面的．）

共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量

c

与向量

a , b

共面的充要条件是存在唯一的一对实数x，y，使cxayb。

例：课本88页例1. 设计意图：空间向量共线定理的应用

变式训练：课本89页练习第3题。

六、课堂小结

1、什么是空间向量的数乘运算？

2、共线或平行向量的概念？表示方法？

3、共线向量定理及其推论？ 七、目标检测

课本97页习题3.1A组1、2题。

八、配餐作业

A组

1．下列命题中是真命题的是( ) A．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量

B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反

C. 若向量AB,CD

满足 | AB|>| CD|，且AB

与

CD

同向，则AB >CD D. 若两个非零向量

AB与CD满足AB+ CD = 0，则AB∥

答案 D 解析 A错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面．

B错．因为|a|＝|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关．

C错.因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有AB>这种写法．

D．对.∵AB + CD = 0 ,∴AB = CD，

∴AB与CD共线，故AB∥CD，正确.

2．已知向量a与b不共线，则a，b，c共面是存在两个非零常数λ，μ使c＝λa＋μb的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案

B 解析

验证必要性时，当a，b，c共面且a∥c(或b∥c)时不能成立，不能使λ，μ都非零．

3. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，向量

D1A,D1C,A1C1是（ ） A．有相同起点的向量

B．等长向量

C．共面向量

D．不共面向量

答案

C 解析

如图所示，因为D1CD1AAC,而ACA1C1, A1C1∴

D1CD1AA1C1，即D1CD1A,而D1A

与

A1C1

不共线，所以D1C

，D1A

，A1C1

三向量共面. [来源:学科网]

B组

4．已知P和不共线三点A，B，C四点共面且对于空间任一点O，都有OP＝2＋＋λ，则λ＝________. 答案

－2 解析

P与不共线三点A，B，C共面，且OP＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则x＋y＋z＝1是四点共面的充要条件．

5．三个向量xa－yb，yb－zc，zc－xa的关系是________．(填

“共面”“不共面”“无法确定是否共面”)．

答案

共面

解析

因xa－yb，yb－zc，zc－xa也是三个向量，且有zc－xa＝－(yb－zc)－(xa－yb)所以三向量共面．

6. 在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若AC

a ,BBD = b , 则

AF等于 ________．

21答案 a＋b

33C组来源:Z&xx&k.Com]

7. 如图所示，E，F，G，H分别为正方体ABCD—A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1，B1C1，D1C1的中点．

求证：(1)E，F，D，B四点共面；

九、授后反思：