3.1.3 空间向量的数量积运算ppt配套教案板书设计

《空间向量的数量积运算》教学设计

西充县晋城中学

胥洪良

一、

教学内容解析

向量是高中知识中的一种重要数学工具，是沟通几何（形）和代数（数）的桥梁。空间向量为处理立体几何问题提供了一个新的方法，是解决空间几何的有效手段。

空间向量的数量积运算是人教社A版数学《选修2-1》中继空间向量的加减法、数乘运算之后的又一种运算，是又一个从平面到空间推广的实例。学生在学习过程中，通过体验类比、归纳的数学学习方式，理解空间向量的数量积运算本质，逐步体会数量积运算在解决立体几何的应用价值，为后面学习坐标表示下的向量方法去解决空间角、长度、垂直等问题奠定重要基础。

二、教学目标设置

根据《高中数学核心素养》总体设计思路，结合本节内容的教学构思和学情，制定教学目标如下：

1.通过小组合作、自主探究，在类比中归纳得出：空间任意两个向量都是共面的，空间任意两个向量的数量积就是平面向量的数量积；让学生进一步理解和掌握空间向量数量积的相关概念及运算。

2.通过例题的分析、求解的过程，学生能初步体会空间向量在解决立体几何有关问题中的重要价值，能基本掌握用数量积处理简单空间几何问题。

3.在解决具体问题的过程中，让学生强化数学应用意识，感悟数学思想（数形结合、化归转化等）的魅力。

三、学生学情分析

学生在通过空间向量的概念及线性运算之后，已初步掌握到空间向量与平面向量之间的内在联系，能体会并运用类比的方法学习空间向量及其运算，知道了“空间任意两个向量都是共面的”；在平面向量的学习中，已经知道平面向量的数量积在判定位置关系（垂直）、角与距离的计算中的应用价值，这为研究空间位置及相关度量提供了类比前提。即在平面向量的夹角和向量长度概念的基础上，类比引入空间向量的夹角、长度的概念和表示方法，类比平面向量的数量积的运算得到空间两个向量的数量积运算、运算律及其应用价值。

数量积的分配律，代数形式上与平面向量中完全一样，但是在几何直观上又有些许不同。这是学生在类比归纳中的一个难点，需要适时铺垫。

数量积在解决立体几何中的垂直问题的过程中，学生对几何元素与空间向量之间的对应及如何用空间向量表示所涉及的几何元素困难较大，这是将立体几何问题转化为空间向量问题的

关键。

基于教学内容和学情分析，本节课的重点和难点确定如下：

重点：通过类比得出空间向量数量积运算的概念及运算律，通过运用数量积运算解决空间垂直问题的过程中感悟数量积运算及运算律的重要价值。

难点：理解空间向量的数量积的分配律；用空间向量表示几何元素并建立几何与向量的联系，将立体几何问题转化为向量计算问题。

四、教学策略分析

“学习金字塔”模型是师生课堂互动模型的一种有效补充。它很好地告诉了我们应采用何种教学手段达到教师、学生和教学内容之间更好的联系、互动与协调，并且对各种手段给出了一定的量化标准，更有利于教师对教学结果的控制。

在这个模型引领下，强调以学定教。在教学过程中，充分发挥学生的主体作用，践行“学生先行，交流呈现，教师断后”的教学理念，突显出“以学生为主体的教，在教师引导下的学”的授课模式。

并通过问题引入、阅读理解、表格填写、交流分享等途径，让学生“动起来”，让课堂“活起来”。在概念、运算律的建构中，坚持让学生主动进行类比与归纳；在例题中，引导学生建立“已知”与“待求”间的“关联”。借助向量工具适时转化难点，设置问题适时突破难点，注重渗透数形结合、化归转化的数学思想。通过课堂小结与感悟，让学生对课堂所学有持续的思考，激发学习的热情，进一步增强教师的引领作用。

五、教学过程

1．教学主线

为了实现教学目标，本节课以一明一暗两条教学主线：按教学环节推进设置“问题引入，提出概念；合作探究，辨析概念；应用概念，感悟“运算”；归纳总结，作业巩固”四个板块，按知识能力方法的获得进程设置了“做类比、抓本质、悟方法、会应用”四个层次。

2.过程实录

2.1 问题引入，提出概念

2008年奥运会，中国向世界展示了无穷魅力，一些别致的建筑和设计令人印象深刻！设计、制造这些宏伟的、精美的建筑，都会遇到很多立体几何问题，如建筑和地面垂不垂直，要不要垂直？构成建筑的部件长度是多少？彼此成多少角度比较合适等等。解决这些问题就必须要有强大的数学工具！

问题1:在所学过的数学工具中，哪些可以用来研究垂直问题，计算长度、角度问题？

问题2:

我们在《必修4》中已经学***面向量，并体会到平面向量在解决垂直、长度、角度等问题中的应用。还学习了空间向量的加减法、数乘运算，那么空间向量中，怎么样的运算能支持判断垂直问题，长度、角度计算问题？

追问：空间向量有数量积吗？为什么？它是怎么样的？

【设计意图】空间向量的数量积运算不是凭空产生的，可引导学生在与平面向量的类比中，去体验空间向量数量积运算存在的必然性，从而自然地引出学习内容。同时，激活学生已有学习经历和知识储备，在例子中发现本质：任意两个空间向量都是共面的，所以任意两个空间向量的数量积，本质上就是平面向量的数量积。

2.2 合作探究，辨析概念

2.2.1小组合作，自主探究

问题3：请同学们4-6人1小组，借助小组的力量，对照表格中的信息，结合桌上的学习任务单，一起探究：空间向量的数量积到底是怎么样的？

【设计意图】

类比平面向量的数

量积，暗示学生从定义、几何意义、运算律等方面学习空间向量的数量积，给学生自主探究空间向量的数量积运算提供方向选择。

分组：4-6人小组，确定1名组长。组长负责组织讨论，记录、汇报讨论结果。

引导：呈现研究平面向量数量积运算的几个维度，暗示学生探究的方向。

巡视、点拨：确认组长，对讨论过程中个别疑难处进行指导。

提醒：对照表格进行填写，梳理空间向量数量积运算的相关知识。

【设计意图】

充分发挥学生的主体作用，践行“学生先行，交流呈现，教师断后”的教学理念，突显“以学生为主体的教，在教师引导下的学”的授课模式，让学生“动起来”，让课堂“活起来”。

2.2.2 交流分享，辨析概念

倾听不同小组代表的回答，在与平面向量数量积类比过程中，逐步归纳出空间向量的数量积定义、几何意义、运算律，并猜想：两者完全一样！

在对话和碰撞中，逐步呈现“疑虑”：平面向量中的投影、分配律，在空间向量中仍然适用吗？（小组合作探究）

空间向量数量积运算的分配律

由于空间任意两个向量都是共面的，所以空间两个向量的数量积运算就是平面向量的数量

积运算。因此平面向量数量积的许多运算律都适用于空间向量的数量积运算。

看书并思考

问题4：在理清了空间向量数量积的运算律之后，请同学辨析一下书本思考题中的三个问题。

【设计意图】通过回答表格的问题，学生进一步理解了空间向量数量积的概念及相关运算律，有效地完善了空间向量数量积运算的知识建构，为后续使用空间向量工具解决立体几何问题提供了运算支持。

3. 应用概念，感悟“运算”

学习一个新的量，就要研究它的运算；研究完运算，就要研究相应的运算律；整个体系完善后，我们就要研究它的实际应用。

例1.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

POAl

【设计意图】

将文字叙述转译为数学语言表达是例1的难点，将几何问题转化为向量问题是又一个难点，解决问题的核心是数量积运算。因此设置如下步骤来突破难点：

第一步，用数学语言表示：已知：PO平面，l在平面内，OA是斜线PA在内的射影，且lOA.求证：lPA

第二步，构建“已知”与“求证”的关联，引导学生将问题转化为向量问题；

第三步，选择合适的向量表示，利用数量积运算计算证明；

第四步，根据计算结果解释几何结论（三垂线定理）

第五步，体验数量积运算的价值：数量积运算可以刻画空间线线垂直的位置关系

例2.如图,m,n是平面内的两条相交直线.如果lm,ln，求证：l.

【设计意图】

例2呈现了数量积运算刻画空间线面垂直关系的价值。证明l与内任意一条直线g是关键，运用空间向量共面定理表示gxmyn是本题的难点。通过设置问题串，引导学生思考求解策略；类比例1，促使学生深刻体会数量积运

算在刻画空间垂直关系中的应用价值。为此设置问题串来突破难点，并结合书本展示和课堂解析，请同学在课后将详细的推理过程完成在学习任务单上。

4. 归纳总结，作业巩固

4.1知识、方法、思想

4.2学习感悟

没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷！

4.3课后作业：必做作业：

书本92:

练习1；书本99:

B组。第1题；