2.2.4 平面与平面平行的性质课时教案

幻灯片1 2. 2.3 直线与平面平行的性质

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学习目标

重点难点

重点: 对直线与平面平行的性质定理的理解及应用. 难点: 线线平行、线面平行的转化.

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新知初探·思维启动

1. 直线与平面平行的性质定理

(1)文字语言: 一条直线与一个平面平行, 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线__________. (2)符号语言: a∥α, a_______β, α∩β＝

b⇒a_______b. 幻灯片4

(3)图形语言:

想一想

若直线l与平面α平行, 能否认为l与平面α内的任意一条直线都平行？平面α内有多少条直线与l平行？

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

提示: 不能. 根据线面平行的性质定理, l与过直线l的平面与α的交线平行. 平面α内有无数条直线与l平行.

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做一做 1.如图, 在三棱锥S－ABC中, E、F分别是

SB、SC上的点, 且EF∥平面ABC, 则(

) A. EF与BC相交

B. EF∥BC C. EF与BC异面

D. 以上均有可能

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解析: 选B.∵面SBC∩面ABC＝BC, 又∵EF∥面ABC, ∴EF∥BC. 2. 已知直线a∥平面α, 则过平面α内一点A, 可作______条直线b, 使a∥b. 解析: 由直线a和点A可确定唯一一个平面, 所以与α只有一条交线.

答案: 一



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

题型探究

题型一

直线与平面平行的性质定理的理解

例题1

过平面α外的直线l, 作一组平面与α相交, 如果所得的交线为a、b、c、…, 则这些交线的位置关系为(

) 幻灯片9

. 都平行

B. 都相交且一定交于同一点

C. 都相交但不一定交于同一点

D. 都平行或交于同一点

【解析】

∵l⊄α, ∴l∥α或l∩α＝A, 若l∥α, 则由线面平行性质定理可知, l∥a, l∥b, l∥c, …, 幻灯片10

∴由公理4可知, a∥b∥c…;

若l∩α＝A, 则A∈a, A∈b, A∈c, …, a∩b∩c∩…＝A, 故选D. 【答案】

D

直线l∥α, 则l平行α内的无数条直线, 反之不成立.

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

变式训练



如果一条直线和一个平面平行, 那么这条



直线(

) 

A. 只和这个平面内的一条直线平行



B. 只和这个平面内的两相交直线不相交



C. 和这个平面内的任何一条直线都平行



D. 和这个平面内的任何一条直线都不相交

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解析: 选D.直线和这个平面平行, 则这条直线和这个平面无公点, 即与这个平面内的任何直线不相交.

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题型二

用线面平行证明线线平行

例题2、过正方体AC1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求证: BB1∥EE1. 【证明】

如图.∵CC1∥BB1, ∴CC1∥平面BEE1B1.

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又∵平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1, ∴CC1∥EE1. ∵CC1∥BB1,

∴BB1∥EE1. “欲证线线平行, 需证线面平行”是证明线线平行的基本思想.



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变式训练

2.如图所示, 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,

E、F分别是棱AA1和BB1的中点, 过EF的平

面EFGH分别交BC和AD于G、H, 求证: AB∥GH.

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证明: ∵E、F分别是AA1和BB1的中点, ∴EF∥AB. 又AB⊄平面EFGH, EF⊂平面EFGH,

∴AB∥平面EFGH. 又AB⊂平面ABCD, 平面ABCD∩平面EFGH＝GH,

∴AB∥GH. 幻灯片17



题型三

线面平行的性质定理与判定定理的综合



例题3、如图, 平行四边形EFGH的顶点分别在空间四边形ABCD各边上, 求证: BD∥平面EFGH, AC∥面EFGH. 1.

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

【思路点拨】

①探讨BD与平面EFGH内的哪一条直线平

行？②平行四边形EFGH如何应用？

【证明】

∵EH∥FG, EH⊄平面BCD,

FG⊂平面BCD,

∴EH∥平面BCD.3分

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又∵EH⊂平面ABD, 平面BCD∩平面

ABD＝BD,

∴EH∥BD.

6分

又∵EH⊂平面EFGH, BD⊄平面EFGH,

∴BD∥平面EFGH.…9分

同理可证, AC∥面EFGH.

12分

1.

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

判定定理与性质定理常常交替使用, 即先通过线线平行推出线面平行, 再通过线面平行推出线线平行, 

这里千万要注意步骤的完整和严密！

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

复杂的题目还可以继续推下去, 我们可称它为平行链, 如下:

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

变式训练



3.如图所示, 已知P是▱ABCD所在平面外一点, 平面PBC∩平面PAD＝l. 

求证: l∥BC.

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

证明: 因为BC∥AD, BC⊄平面PAD, AD⊂平面PAD, 所以BC∥平面PAD. 又因为平面PBC∩平面PAD＝l, 所以l∥BC.

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

方法技巧



1. 证明线线平行的方法



(1)定义: 在同一个平面内没有公共点的两条直线平行.



(2)平行公理: 平行于同一条直线的两条直线平行.



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



(3)线面平行的性质定理:

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2. 对直线与平面平行的性质定理的几点认识: (1)线面平行的性质定理的条件有三个: ①直线a与平面α平行, 即a∥α; ②平面α、β相交于一条直线, 即α∩β＝b; ③直线a在平面β内, 即a⊂β.三个条件缺一不可.

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

(2)定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直

线与直线平行, 即通过直线与平面平行可得

到直线与直线平行, 这给出了一种作平行线

的方法, 体现了数学中的转化与化归的思想.

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失误防范

1. 需防止出现“一条直线与一个平面平行,

则该直线平行于这个平面内的所有直线”的

错误.

2. 如果直线a∥平面α, 在平面α内, 除了与直线

a平行的直线外, 其余的任一直线都与直线a是

异面直线.

a⊂β⇒a∥b, 应用时题目条件中需有α∩β＝ba∥α线面平行.