一、圆锥曲线的光学性质及其应用教案设计（一等奖）

再探圆锥曲线的离心率

福州格致中学

陈怡

教学目标：

1.掌握求圆锥曲线离心率的方法. 2.通过高考命题离心率的方式引申，培养学生分析问题，解决问题的能力；以及变式思维、逆向思维思考问题的习惯. 3.激发学生的求知欲和学习兴趣，培养学生积极参与，大胆探索的精神. 教学难点：

类比归纳求解离心率的思想方法.

教学重点：

探索离心率问题的变式. 教学方法：

启发诱导、类比推理、习作训练. 设计思路：

初探离心率 从一道高考题入手 经历三个探究的习作 离心率的应用归纳. 教学过程：

一、群英荟萃

再回首：

1.离心率的计算

①（2018·新课标Ⅱ卷文11）

已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1PF2，且PF2F160，则C的离心率为

. 解：由已知得，PF1PF23cc2a

故椭圆离心率e

②（2018·北京卷理）

c31

ax2y2已知椭圆M:221(ab0)，双曲线N：abx2y221(m0,n0)，若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰好为2mn一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为

；双曲线N的离心率为

.

1

解：对于椭圆，由已知得，AF1AF23cc2a

c31

ab2222对于双曲线，由已知得，3，b3aca，得acc24a2

故双曲线离心率e22

a故椭圆离心率e1③（2018·江苏卷理8）

x2y2在平面直角坐标系xOy中，若双曲线221(a0，b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距ab离为3c，则其离心率为

. 2bcb3解：右焦点F(c,0)到渐近线yx的距离为bc

22a2ba故b

④（2018·新课标Ⅱ卷理11）

232ccc2a2，得c24a2，故双曲线离心率e2

4ax2y2设F1，F2是双曲线C：221(a0,b0)的左，右焦点，O是坐标原点，过F2作C的一条ab渐近线的垂线，垂足为P，若PF1________. 解：取一渐近线y26OP，则C的离心率为bcbx，PF2b

22aba2OPOF2PF2c2b2a

PF16a

cosPOF1cosPOF2a

OF2c222PO在POF1中，利用余弦定理得，PF1POOF12POOF1cosPOF1

ca6a2a2c22ac，得c23a2，故双曲线离心率e3

ac⑤（2018·新课标Ⅱ卷理12）

x2y2已知F1，F2是椭圆C：221(ab0)的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜ab

2

率为3。的直线上，△PF为等腰三角形，，则C的离心率为_________. FFFP12012126''解：设PxP,yP，作PPx轴，垂足为P，

由已知得PF2P'60o，且PF2F1F22c，

故在PF2P'中，PP'PF2sin60o3y3，即P，

22c2yP3c,P'F2PF2cos60oc，xP2c

P2c,3c，Aa,0kAP2.

离心率的应用

①（2018·新课标Ⅱ卷文6）

c13c3，得4ca，故椭圆离心率e

a42ca6x2y2双曲线221(a0,b0)的离心率为3，则其渐近线方程为

. ab解：由cb3求出2，故渐近线方程为y2x. aa

②（2018·新课标Ⅲ卷文10）

x2y2已知双曲线C:221(a0,b0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为ab________. 解：由

c2得到ab，则渐近线方程为xy0，点(4,0)到渐近线的距离为22. a二、探渊索珠

x2y2过双曲线221(a0,b0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以abMN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________. 探究1：改变圆经过的点的位置. x2y2①过双曲线221(a0,b0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MNab为直径的圆恰好过双曲线的________（右焦点、中心、左顶点），求双曲线的离心率. x2y21a0,b0）②过双曲线22（的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，双曲ab线的右顶点在以MN为直径的圆的________（内部、外部），求双曲线的离心率的取值范围.

3

探究2：改变曲线的形状. x2y2过椭圆221(ab0)的左焦点且垂直于x轴的直线与椭圆相交于M，N两点，以MN为直径ab的圆恰好过椭圆的________（右焦点、中心、右顶点、左顶点），求椭圆的离心率. 探究3：改变直线的倾斜角

x2y2o1a0,b0）①过双曲线22（的左焦点且倾斜角为45的直线与双曲线相交于M,N两点，若以abMN为直径的圆恰好过双曲线的中心，求双曲线的离心率. 三、探究升华

离心率的应用：

x2y21a0,b0）过离心率为2的双曲线22（的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于abM,N两点，则以MN为直径的圆能否过双曲线的右顶点？

四、小结提升

数学素养的体现：1.直观想象

2.逻辑推理

3.数学抽象

4.数学运算

5.学会拓展

6.学会分享

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