1.4.3 含有一个量词的命题的否定优秀教案案例

1.4.3

含有一个量词的命题的否定

学习目标

1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.

知识点一

全称命题的否定

思考

尝试写出下面含有一个量词的全称命题的否定，并归纳写全称命题否定的方法. (1)所有矩形都是平行四边形；

(2)每一个素数都是奇数；

(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0. 答案

(1)将量词“所有”换为：“存在一个”然后将结论否定，即“不是平行四边形”，所以原命题的否定为：“存在一个矩形不是平行四边形”；用同样的方法可得(2)(3)的否定：

(2)存在一个素数不是奇数；

(3)∃x0∈R，x20－2x0＋1<0. 梳理

写全称命题的否定的方法：(1)更换量词，将全称量词换为存在量词；(2)将结论否定. 对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0). 全称命题的否定是特称命题. 知识点二

特称命题的否定

思考

尝试写出下面含有一个量词的特称命题的否定，并归纳写特称命题否定的方法. (1)有些实数的绝对值是正数；

(2)某些平行四边形是菱形；

(3)∃x0∈R，x20＋1<0. 答案

(1)先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”，然后将结论“实数的绝对值是正数”否定，即“实数的绝对值不是正数，于是得原命题的否定为：“所有实数的绝对值都不是正数”；同理可得(2)(3)的否定：

(2)所有平行四边形都不是菱形；

(3)∀x∈R，x2＋1≥0. 梳理

写特称命题的否定的方法：(1)将存在量词改写为全称量词，(2)将结论否定. 对于含一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：

特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x).特称命题的否定是全称命题.

类型一

全称命题的否定

例1

写出下列全称命题的否定：

(1)任何一个平行四边形的对边都平行；

(2)数列：1，2，3，4，5中的每一项都是偶数；

(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解；

(4)可以被5整除的整数，末位是0. 解

(1)其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行. (2)其否定：数列：1，2，3，4，5中至少有一项不是偶数. (3)其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不惟一或不存在. (4)其否定：存在被5整除的整数，末位不是0. 反思与感悟

全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定. 跟踪训练1

写出下列全称命题的否定：

(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；

(2)p：所有自然数的平方都是正数；

(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；

(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0. 解

(1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆. (2)綈p：有些自然数的平方不是正数. (3)綈p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根. (4)綈p：存在实数x0，使得x20＋1<0. 类型二

特称命题的否定

例2

写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假. (1)p：∃x0>1，使x20－2x0－3＝0；

(2)p：有些素数是奇数；

(3)p：有些平行四边形不是矩形. 解

(1) 綈p：∀x>1，x2－2x－3≠0(假). (2) 綈p：所有的素数都不是奇数(假). (3) 綈p：所有的平行四边形都是矩形(假).

反思与感悟

特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p：∃x0∈M，p(x0)成立⇒綈p：∀x∈M，綈p(x)成立. 跟踪训练2

写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假. (1)有些实数的绝对值是正数；

(2)某些平行四边形是菱形；

(3)∃x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3. 解

(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.它为假命题. (2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题. (3)命题的否定是“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”.当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题. 类型三

特称命题、全称命题的综合应用

例3

已知函数f(x)＝x2－2x＋5. (1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；

(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围. 解

(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，

即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4. 要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可. 故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4. (2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min. 又f(x)＝(x－1)2＋4，

∴f(x)min＝4，∴m>4. ∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞). 反思与感悟

对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素.一般地，对任意的实数x，a>f(x)恒成立，只要a>f(x)max；若存在一个实数x0，使a>f(x0)成立，只需a>f(x)min. 跟踪训练3

已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R). (1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0；

(2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围. (1)证明

当a＝－3时，f(x)＝－9x2＋6x－1，

∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，

∴对任意x∈R，都有f(x)≤0.

(2)解

∵f(x)≤4x恒成立，

∴3ax2＋2x－1≤0恒成立，

a<0，a<0，∴即

Δ≤0，4＋12a≤0，

1解得a≤－，

31即实数a的取值范围是(－∞，－]. 3

1.已知a>0且a≠1，命题“∃x0>1，logax0>0”的否定是(

) A.∃x0≤1，logax0>0

C.∀x≤1，logax>0

答案

D 解析

a>0且a≠1，命题“∃x0>1，logax0>0”的否定是“∀x>1，logax≤0”.

2.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A，2x∈B，则(

) A.綈p：∀x∈A，2x∉B

B.綈p：∀x∉A，2x∉B

C.綈p：∃x0∉A，2x0∈B

D.綈p：∃x0∈A，2x0∉B

答案

D 解析

命题p：∀x∈A，2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x0∈A，2x0∉B.故选D. 13.命题“对任意一个实数x，都有>0”的否定是____________________. 2x＋4答案

存在一个实数x0，使得2x0＋4≤0 11解析

“对任意一个实数x，都有>0”的否定是“存在一个实数x0，使得<0或2x＋42x0＋42x0＋4＝0”，即“存在一个实数x0，使得2x0＋4≤0”.

4.由命题“∃x0∈R，x20＋2x0＋m≤0”是假命题，得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________. 答案

1 解析

由题意得命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，所以Δ＝4－4m<0，即m>1，故实数m的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a的值为1. B.∃x0>1，logax0≤0 D.∀x>1，logax≤0

5.已知函数f(x)＝x2－mx＋1，命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，命题q：“存在x0∈R，2使x20＋m<9”.若命题“綈p”与“q”均为真命题，求实数m的取值范围. 解

由于命题p：“对任意x∈R，都有f(x)>0”，所以綈p：“不等式f(x)≤0在实数集上有2解”，故Δ＝m2－4≥0，得m≤－2或m≥2.又命题q：“存在x0∈R，使x0＋m2<9”，即不22等式x20<9－m在实数集上有解，故9－m>0，所以－3

1.对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；第二步，将结论加以否定，如：将“≥”否定为“<”.

2.对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定.含有存在量词的命题的否定是含有全称量词的命题.注意命题中可能省略了全称或存在意义的量词，要注意判断. 3.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，因此在书写时，要注意量词以及形式的变化，熟练掌握下列常见词语的否定形式：

原词语

是

都是

大于

小于

任意的

所有的

否定词语

不是

不都是

不大于

不小于

某个

某些

原词语

至少有一个

至多有一个

至少有n个

至多有n个

能

等于

否定词语

一个也没有

至少有两个

至多有(n－1)个

至少有(n＋1)个

不能

不等于

40分钟课时作业

一、选择题

1.命题“∃x0∈R，x30－2x0＋1＝0”的否定是(

) A.∃x0∈R，x30－2x0＋1≠0 B.不存在x∈R，x3－2x＋1≠0 C.∀x∈R，x3－2x＋1＝0 D.∀x∈R，x3－2x＋1≠0

答案

D 2.下列命题中，假命题是(

) A.∀x∈R，2x1>0

－B.∀x∈N*，(x－1)2>0 D.∃x0∈R，tan x0＝2 C.∃x0∈R，lg x0<1

答案

B 解析

对于∀x∈R，y＝2x>0恒成立，而y＝2x－－1的图象是将y＝2x的图象沿x轴向右平移1个单位长度，函数的值域不变，故2x1>0恒成立，A为真命题；当x＝1时，(x－1)2＝0，故B为假命题；当0

) A.∃x0∈R，sin x0≥1

C.∀x∈R，sin x≥1

答案

B 解析

所给命题为全称命题，故其否定为特称命题，∃x0∈R，sin x0>1，故选B. 4.命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(

) A.∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n

B.∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n

C.∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0

D.∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0

答案

D 解析

“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)>n”，全称命题的否定为特称命题，故选D. 5.若命题p：∀x>0，log2x>0，命题q：∃x0∈R，2x0<0，则下列命题为真命题的是(

) A.p∨q

B.p∧q

C.(綈p)∧q

D.p∨(綈q) 答案

D 解析

当x∈(0，1]时，log2x≤0，∴命题p为假命题. 又2x0B.∃x0∈R，sin x0>1 D.∀x∈R，sin x>1 >0，x0∈R，∴命题q为假命题，

∴p∨(綈q)为真命题. 6.已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项中的命题为假命题的是(

) A.∃x1∈R，f(x1)≤f(x0) C.∀x∈R，f(x)≤f(x0) 答案

C B.∃x1∈R，f(x1)≥f(x0) D.∀x∈R，f(x)≥f(x0)

解析

当a>0时，函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象为开口向上的抛物线，若x0满足关于x的方b程2ax＋b＝0，则x0＝－为抛物线顶点的横坐标，f(x)min＝f(x0)，故对于∀x∈R，f(x)≥f(x0)2a成立，从而选项A，B，D为真命题，选项C为假命题. 二、填空题

π7.若“∀x∈[0，]，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________. 4答案

1 ππ解析

∵0≤x≤，∴0≤tan x≤1，∵“∀x∈[0，]，

44tan x≤m”是真命题，∴m≥1.∴实数m的最小值为1. 8.命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________________________. 答案

存在x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3 解析

全称命题的否定为特称命题. 9.命题“每个函数都有奇偶性”的否定是______________. 答案

有些函数没有奇偶性

解析

命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此其否定是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论. 10.已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________. 答案

[3，8) 解析

因为p(1)是假命题，

所以1＋2－m≤0，解得m≥3. 又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8，

故实数m的取值范围是[3，8). 三、解答题

11.若p1p2＝2(q1＋q2)，求证：关于x的方程x2＋p1x＋q1＝0与x2＋p2x＋q2＝0中至多有一个方程没有实数根. 证明

若两个方程都无实数根，

2p1－4q1<0，

①则2

p2－4q2<0，

②2①＋②，得p21＋p2<4(q1＋q2). 2∵p21＋p2≥2p1p2，

∴2p1p2<4(q1＋q2)，

∴p1p2<2(q1＋q2)，

∴p1p2≠2(q1＋q2)，这与已知条件矛盾. ∴关于x的方程x2＋p1x＋q1＝0与x2＋p2x＋q2＝0中至多有一个方程没有实数根. 12.已知命题p：∀x∈R，4x－2x1＋m＝0，若綈p是假命题，求实数m的取值范围. ＋解

∵綈p是假命题，

∴p是真命题. 也就是∀x∈R，有m＝－(4x－2x1)，

＋令f(x)＝－(4x－2x1)＝－(2x－1)2＋1，

＋∴对任意x∈R，f(x)≤1. ∴m的取值范围是(－∞，1]. 1＋x213.已知f(x)＝ax＋bx＋c的图象过点(－1，0)，是否存在实数a，b，c，使得不等式x≤f(x)≤22对于一切实数x均成立. 1＋x2解

假设存在实数a，b，c，使得不等式x≤f(x)≤对于一切实数x均成立. 2∵f(x)的图象过点(－1，0)，∴a－b＋c＝0. 1＋x2∵x≤f(x)≤对一切x∈R均成立，

2∴当x＝1时，也成立，

即1≤a＋b＋c≤1，故有a＋b＋c＝1. 11∴b＝，c＝－a. 2211∴f(x)＝ax2＋x＋－a. 22121ax－x＋－a≥0，1＋x12122故x≤ax＋x＋－a≤对一切x∈R均成立，即恒成立

22221－2ax－x＋2a≥02

Δ≤0，⇔a>0，1－2a>02Δ1≤0，

⇔1－8a1－2a≤0，a>0，1－2a>0.11－4a－a≤0，42

111∴a＝，∴c＝－a＝. 424111∴存在一组实数a＝，b＝，c＝，

4241＋x2使得不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立. 2