2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系第二课时教学实录

同步教案3 线面关系-平行

知识点：

线面平行判定：

1．直线与平面平行的定义：直线与平面______公共点．

2．直线与平面平行的判定定理：

______________一条直线与________________的一条直线平行，则该直线与此平面平行．用符号表示为____________________________．

答案：（①

②）

典型例题：

1.

已知不重合的直线a，b和平面α. ①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；

③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，

其中正确命题的个数是_____③___．

2.

如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是(

④

)

A．平行

B．相交

C．在平面α内

D．平行或在平面α内

随堂练习：

3.

以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面) ①若a∥b，b⊂α，则a∥α；

②若a∥α，b∥α，则a∥b；

③若a∥b，b∥α，则a∥α；

④若a∥α，b⊂α，则a∥b．

其中正确说法的个数是(

⑤

)

A．0

B．1

C．2

D．3

4.

如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：

(1)与直线AB平行的平面是________；

(2)与直线AA1平行的平面是______；

(3)与直线AD平行的平面是____⑥__．

知识点：

.中位线证平行: 构筑三角形中位线

D为AB中点，E为AC中点，则DE为

三角形ABC的中位线，DE//BC，且DE=1BC

2

典型例题：

1.

如图，在直三棱柱

ABC−A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1DB1C．

求证：（1）EF∥平面ABC；（2）

⑦（答案：）

2.

如图，已知A1B1C1－ABC是三棱柱，D是AC的中点．证明：AB1∥平面DBC1.⑧

A1

D

F

E A B C B1

C1

随堂练习：

1.

如图，在三棱锥P－ABC中，点O、D分别是AC、PC的中点．求证：OD∥平面PAB.⑨

2.

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是__⑩____．

3.

（文科）如图四,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD底面ABCD，

且PAPD2AD,若E、F

分别为PC、BD的中点. 2(Ⅰ) EF

//平面PAD；(Ⅱ)

PEDFAC图四

（答案：）

知识点：

平行四边形证平行：

构筑平行四边形

11B

若AB//CD，且AB=CD，则ABCD为

平行四边形，则另一组对边BC//AD。

典型例题：

1.

如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，ABC4, OA底面ABCD, OA2,M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN‖平面OCD；

OMABNCD

（答案：）平行四边形证平行，易；

12

2.

如图，在平行四边形ABCD中，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，F为线段A′C的中点．求证：BF∥平面A′DE.13

3.

（全国押题文16年）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADCD，AB∥CD，ABAD2，CD4，M为CE的中点．

EFDA

(1)求证：BM∥平面ADEF；(2) （答案：14）

随堂练习：

1.

在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA12，点M是BC的中点．点N是AA1的中点．

求证：MN//平面A1CD；

（答案：）

2.

（文襄阳市2017届高三1月调研）在长方体ABCDA1BC11D1中，E,F分别是AB,CD1的中点，15MCB

AA1AD1,AB2..(1)求证：EF//平面BCC1B1；(2)；（3）.（16

）

3.

（东莞2013文）如图，AA1、BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D、E分别是AA1、CB1的中点，DE面CBB1．(1)证明：DE//面ABC；（2）；

知识点：

面面平行判定：

1．平面α与平面β平行是指两平面______公共点．若α∥β，直线a⊂α，则a与β的位置关系为______．

2．下面的命题在“________”处缺少一个条件，补上这个条件，使其构成真命题(M，n为直线，α，β为平面)，则此条件应为________．

m⊂αn⊂αm∥β⇒α∥β

n∥β

19答案：（17

18）

典型例题：

1.

已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是(

) A．l∥β，l⊂α⇒α∥β

B．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥β

C．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥β

D．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β

2.

给出下列结论，正确的有(

20

) ①平行于同一条直线的两个平面平行；

②平行于同一平面的两个平面平行；

③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；

④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

3.

在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是AB、CD、A1B1、C1D1的中点．

求证：平面A1EFD1∥平面BCF1E1. 21

随堂练习：

1.

下列结论中：

(1)过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行；

(2)过不在平面内的一条直线，有且只有一个平面与这个平面平行；

(3)过不在直线上的一点，有且只有一条直线与这条直线平行；

(4)过不在直线上的一点，有且仅有一个平面与这条直线平行．

正确的序号为(

2.

直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是(

2322

)

A．(1)(2)

B．(3)(4)

C．(1)(3)

D．(2)(4)

)

A．相交

B．平行

C．异面

D．不确定

3.

如图，F，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，AA1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1H.24

知识点：

线面平行性质：

直线与平面平行的性质定理：

一条直线与一个平面平行，则_____________________________________．

(1)符号语言描述：________________．

(2)性质定理的作用：

可以作为________________平行的判定方法，也提供了一种作________的方法．

答案：（25

26

27）

典型例题：

1.

如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是(

2.

如图所示，已知平面α∩β＝b，平面β∩γ＝a，平面α∩γ＝c，a∥α.求证：b∥c.29

28

)

A．平行

B．相交

C．异面

D．不确定

3.

已知(如图)A、B、C、D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是____30__．

随堂练习：

1.

如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是(

2.

如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是(

A．l1平行于l3，且l2平行于l3

B．l1平行于l3，且l2不平行于l3 C．l1不平行于l3，且l2不平行于l3

D．l1不平行于l3，但l2平行于l3

3231

)

A．异面

B．平行

C．相交

D．以上均有可能

)

3.

如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为(

33

) A．AC⊥BD

B．AC∥截面PQMN

C．AC＝BD

D．异面直线PM与BD所成的角为45°

知识点：

面面平行性质：

1．平面与平面平行的性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________________．

(1)符号表示为：________________⇒a∥b．

(2)性质定理的作用：

利用性质定理可证________________，也可用来作空间中的平行线．

2．面面平行的其他性质

α∥β⇒________，可(1)两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于____________________，即a⊂α用来证明线面平行；

(2)夹在两个平行平面间的平行线段________；

(3)平行于同一平面的两个平面________．

答案：（34

35

36）

典型例题：

1.

已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列推理正确的是(

37

) A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b

B．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥β

C．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β

D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b

2.

(2012－2013·东莞模拟)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为_____38___．

3.

如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．

求证：N为AC的中点．39

随堂练习：

1.

已知两条直线m，n两个平面α，β，给出下面四个命题：

①α∩β＝m，n⊂α⇒m∥n或者m，n相交；

②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；

③m∥n，m∥α⇒n∥α；

④α∩β＝m，m∥n⇒n∥β且n∥α. 其中正确命题的序号是(

2.

如右图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是____41____．

40

)

A．①

B．①④ C．④

D．③④

3.

如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E、E1分别是棱AD，AA1的中点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.42

①

答案：无；

②

答案：平面外

此平面内

a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α；

③

答案：1；

④

答案：D；

[解析]

在旋转过程中CD∥AB，由直线与平面平行的判定定理得CD∥α，或CD⊂α，故选D.

⑤

答案：A；

[①a⊂α也可能成立；②a，b还有可能相交或异面；③a⊂α也可能成立；④a，b还有可能异面．]

⑥

答案：(1)平面A1C1和平面DC1

(2)平面BC1和平面DC1

(3)平面B1C和平面A1C1

答案：（1）证EF//BC即可；（2）证A1DB1C1，A1DBB1即可；

⑧

[证明]

∵A1B1C1－ABC是三棱柱，

⑦∴四边形B1BCC1是平行四边形．

连接B1C交BC1于点E，则B1E＝EC. 在△AB1C中，∵AD＝DC，∴DE∥AB1.

又AB1⊄平面DBC1，DE⊂平面DBC1，

∴AB1∥平面DBC1.

⑨

[证明]

∵点O、D分别是AC、PC的中点，∴OD∥AP.

∵OD⊄平面PAB，AP⊂平面PAB. ∴OD∥平面PAB.

⑩

答案：平行；

解析

设BD的中点为F，则EF∥BD1．

11

答案：（1）取BD，AC交点E，连结PE，证PE//BD1即可；（2）证CABD，CADD1即可；（3）计算B1CP、B1AP各边长，用勾股可证B1PPC，B1PPA即可。

1213

（Ⅰ）取OD中点E，连结MNCE，证平行四边形即可

答案：证明

取A′D的中点G，连接GF，GE，

11由条件易知FG∥CD，FG＝CD，BE∥CD，BE＝CD，

22所以FG∥BE，FG＝BE，故四边形BEGF为平行四边形，

所以BF∥EG.因为EG⊂平面A′DE，

BF⊄平面A′DE，

所以BF∥平面A′DE.

14

【解析】

(1)取DE的中点N，连接MN,AN．

EFNDMCBA

在△EDC中，M,N分别为EC,ED的中点，

1所以MN∥CD，且MNCD．

21又AB∥CD，ABCD，

2

所以MN∥AB，且MNAB，

所以四边形ABMN为平行四边形，（4分）

所以BM∥AN．

又AN平面ADEF，且BM平面ADEF，

所以BM∥平面ADEF．（6分）

(2)在正方形ADEF中，EDAD．又平面ADEF平面ABCD，且平面ADEF以ED平面ABCD．EDBC．（9分）

在直角梯形ABCD中，ABAD2，CD4，可得BC22．

在BCD中，BDBC22，CD4，所以BCBD．

又EDBDD，所以BC平面BDE．（11分）

又BC平面BEC，所以平面BDE平面BEC．（12分）

15

（1）取AD1中点E，连结MNEC，证平行四边形即可。

16

(Ⅰ)证：过F作FM∥C1D1交CC1于M，连结BM

∵F是CD1的中点，∴FM∥C1D1，错误！未找到引用源。

又∵E是AB中点，∴BE∥C1D1，错误！未找到引用源。

因此BE∥FM，BE = FM，EBMF是平行四边形，∴EF∥BM

又BM在平面BCC1B1内，∴EF∥平面BCC1B1．

(Ⅱ)证：∵D1D⊥平面ABCD，CE在平面ABCD内，∴D1D⊥CE

在矩形ABCD中，错误！未找到引用源。，∴错误！未找到引用源。

故△CED是直角三角形，∴CE⊥DE，∴CE⊥平面D1DE

∵CE在平面CD1E内，∴平面CD1E⊥平面D1DE．

(Ⅲ)解：错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

∴错误！未找到引用源。．

12分

17

答案：无

a∥β；

18

答案：m，n相交；

19

答案：D；

[解析]

如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB∥CD，则直线AB∥平面DC1，直线AB⊂平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以选项A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.又EF⊂平面BC1，B1C1⊂平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以选项B错误；直线AD∥B1C1，AD⊂平面AC，B1C1⊂平面BC1，但平面AC与平面BC1不平行，所以选项C错误；很明显选项D是两个平面平行的判定定理，所以选项D正确．

8分

6分

4分

2分

平面ABCDAD．所

2021

答案：B；

答案：证明

∵E、E1分别是AB、A1B1的中点，∴A1E1∥BE且A1E1＝BE. ∴四边形A1EBE1为平行四边形．

∴A1E∥BE1.∵A1E⊄平面BCF1E1，

BE1⊂平面BCF1E1. ∴A1E∥平面BCF1E1. 同理A1D1∥平面BCF1E1，

A1E∩A1D1＝A1，

∴平面A1EFD1∥平面BCF1E1.

22

答案：C；

2324

答案：B；

[证明]

取DD1中点E，连AE、EF. ∵E、F为DD1、CC1中点，

∴EF綊CD.

∴EF綊AB，

∴四边形EFBA为平行四边形．又∵E、H分别为D1D、A1A中点，

∴D1E綊HA，∴四边形HAED1为平行四边形．

∴HD1∥AE，

∴HD1∥BF，

由正方体的性质易知B1D1∥BD，且已证BF∥D1H. ∵B1D1⊄平面BDF，BD⊂平面BDF，

∴B1D1∥平面BDF. ∵HD1⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，

∴HD1∥平面BDF.又∵B1D1∩HD1＝D1，

∴平面BDF∥平面B1D1H.

25

答案：过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行；a∥α26

答案：

a⊂β⇒a∥b；

β∩α＝b27

答案：直线和直线

平行线；

∴AE∥BF.

28

[答案]

A；

[解析]

∵EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，

∴EH∥平面BCD. ∵EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，

∴EH∥BD.

29

[分析]

要证b∥c，只需证明b∥a和c∥a，已知条件中有线面平行，于是可以将线面平行转化为线线平行．

[证明]

∵a∥α，β是过a的平面，α∩β＝b，

∴a∥b.同理可得a∥c. ∴b∥c.

30

答案：平行四边形；

解析

平面ADC∩α＝EF，且CD∥α，得EF∥CD；

同理可证GH∥CD，EG∥AB，FH∥AB．

∴GH∥EF，EG∥FH．∴四边形EFGH是平行四边形．

31

[答案]

B；

[解析]

∵A1B1∥AB，AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面ABC. 又A1B1⊂平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，∴DE∥A1B1. 又AB∥A1B1，∴DE∥AB.

32

答案：A；

[∵l1∥l2，l2⊂γ，l1⊄γ，∴l1∥γ．

又l1⊂β，β∩γ＝l3，∴l1∥l3, ∴l1∥l3∥l2．]

33

答案：C；

[∵截面PQMN为正方形，∴PQ∥MN，PQ∥面DAC．

又∵面ABC∩面ADC＝AC，PQ⊂面ABC，∴PQ∥AC，

同理可证QM∥BD．故有选项A、B、D正确，C错误．]

34

答案：那么它们的交线平行

35

答案：

α∥βα∩γ＝a

(2)线线平行

β∩γ＝b36

答案：(1)另一个平面

a∥β

(2)相等

(3)平行

37

[答案]

D；

[解析]

选项A中，α∩β＝a，b⊂α，则a，b可能平行也可能相交，故A不正确；

选项B中，α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α且b∥β，也可能b在平面α或β内，故B不正确；

选项C中，a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，根据面面平行的判定定理，再加上条件a∩b＝A，才能得出α∥β，故C不正确；选项D为面面平行性质定理的符号语言，故选D.

38

[答案]

平行四边形；

[解析]

∵平面ABFE∥平面CDHG，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，

平面EFGH∩平面CDHG＝HG，∴EF∥HG. 同理EH∥FG，

∴四边形EFGH的形状是平行四边形．

39

证明

∵平面AB1M∥平面BC1N，

平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，

∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，∴四边形ANC1M为平行四边形，

11∴AN綊C1M＝A1C1＝AC，∴N为AC的中点．

2240

[答案]

A；

41

[答案]

平行四边形；

[解析]

∵平面AC∥α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，∴AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1，又A1B1∥C1D1，∴AB∥CD，同理可证AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．

42

[证明]

因为F为AB的中点，

CD＝2，AB＝4，AB∥CD，

所以CD綊AF，

因此四边形AFCD为平行四边形，

所以AD∥FC. 又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，

FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，

AD∩DD1＝D，AD⊂平面ADD1A1，

DD1⊂平面ADD1A1，

所以平面ADD1A1∥平面FCC1. 又EE1⊂平面ADD1A1，

EE1⊄平面FCC1，

所以EE1∥平面FCC1.