小结优秀教学设计

立体几何中的向量方法(Ⅰ)—证明平行与垂直

1.

利用空间向量证明平行问题

1.直线的方向向量与平面的法向量的确定

→→①直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称AB为直线l的方向向量，与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．

②平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向n·a＝0，量的方程组为n·b＝0.

2.用向量证明空间中的平行关系

①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2. ②设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2. ③设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u. ④设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2. 2. 利用空间向量证明垂直问题

1. 用向量证明空间中的垂直关系

①设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0. ②设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.

③设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 2.共线与垂直的坐标表示

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，

a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．

对点练习：

【河南省信阳市期末】已知梯形错误！未找到引用源。如下图所示，其中错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。为线段错误！未找到引用源。的中点，四边形错误！未找到引用源。为正方形，现沿错误！未找到引用源。进行折叠，使得平面错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。，得到如图所示的几何体.已知当点错误！未找到引用源。满足错误！未找到引用源。时，平面错误！未找到引用源。平面错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。的值为（ ）

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A. 错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引用源。 C. 错误！未找到引用源。 D. 错误！未找到引用源。

考点1 利用空间向量证明平行问题

【1-1】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.

考点2 利用空间向量证明垂直问题

【2-1】如图所示，在棱长为1的正方体OABC­O1A1B1C1中，E，F分别是棱间直AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤1，以O为原点建立空角坐标系O­xyz. (1)

(2)

【2-2】如图，在长方体中，

，错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。点错误！未找到引用源。为线段上的动点(包含线段端点)，则下列结论正确的错误！未找到引用源。__________．

①当时，

平面；

错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。②当时，

平面；

错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。③的最大值为错误！未找到引用源。；

错误！未找到引用源。④的最小值为错误！未找到引用源。. 错误！未找到引用源。

求证A1F⊥C1E； →1→→若A1，E，F，C1四点共面，求证：A1F＝A1C1＋A1E. 2- 2 -

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