3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学设计

课题：直线的倾斜角和斜率

（第一课时）

【教学目标】

（1）

知识目标 ①

让学生经历倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程，能自然理解倾斜角的概念. ②

通过对坡角、坡度概念回顾，经过教学使学生能把此知识迁移到直线的斜率中，并理解斜率的定义. ③

经历用代数方法刻画直线斜率的过程，使学生初步掌握过已知两点的直线的斜率坐标公式. （2）能力目标

①

通过直线的倾斜角概念学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索、和抽象概括能力，运用数学语言的表达能力，数学交流与评价能力. ②

通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，渗透辩证唯物主义思想，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想. （3）情感目标： ①通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位. ②

通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数 学的魅力，培养学生的数学意识和科学精神. 【教学重点】

①直线倾斜角与斜率概念；

②推导并掌握过两点的直线斜率公式；

③体会数形结合及分类讨论思想的应用. 【教学难点】

斜率概念的学习和过两点斜率公式的建立过程. 【教法、学法指导】

教师启发引导与学生自主探索相结合. 1．本节课的教学任务有两大项：倾斜角的概念、斜率的概念．学生思维也对应两个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切.相应的教学过程也有两个阶段：

①在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念. ②本节的难点是对斜率概念的理解。学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不是这样.还有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率？要解决这些问题，可引导学生联想工程问题中的“坡度”问题，以及三角函数的定义. 2．本节内容在教学中采用启发式探究教学，设计为启发、引导、探究、归纳总结的教学模式。学生在积极思维的基础上，进行充分的讨论、争辩、交流、小结．倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切，这两项教学任务都是在讨论、交流、归纳中完成的.在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展。教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织交流，归纳总结. 【教学手段】多媒体辅助课堂教学. 四、教学方法

利用计算机和实物投影等辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式. 五、教学过程

教

学

过

程

设计

意图

运用学生熟悉的流星的运动趣轨引迹，以思,激发学生学习热情. 创

设

情

境

结合平面几何确定直线得几何条件：

1．两点确定一条直线

2．过一个点有无数条直线

问题1:确定一条直线的几何要素是什么？ （除了点以外，还有直线的方向，也就是直线的倾斜程度）

倾斜角的概念：

带着问题观察斜拉桥，从而强调方向的重要性。通过学生个别学习，互相探讨，由师引导学生归纳总结出倾斜角的概念及范围，有利于学生

知识迁移和能力提高。

在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直探

线l，把x轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合时所成的角，叫做直线l的倾斜角.通常倾究

斜角用表示。

师提出问题：把谁旋转？怎么样旋转？旋转到什么位置？

问

师引导学生给出直线在坐标系中的四种位置关系：

题

（一）

总结：直线倾斜角的范围是:0180

辨析训练：

下列图中标出的直线的倾斜角对不对？

问题2 :导出直线斜率的概念

（探二）究问

通过实物图片展 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角刻画了直线的倾斜程度。在日常生活示，以及中，我们用坡度来刻画道路的“倾斜程度”，坡度即坡面的铅直高度和水平长度的比，这相当于在水平方向移动1km,在铅直方向上升或下降的数值（km）,这个比值表示了坡度的大小。这样的例子很多，比如，楼梯的坡度等。

为了用坐标的方法刻画直线的倾斜角，我们引入了直线的斜率的概念

先来看看过原点，倾斜角为的直线的斜率。

（1）090的直线的斜率

生生、师生间的探讨，合作

，培养学生的洞察力，增强学生思维的严谨性，达到对知识的理解和深化。

题（二）

观察图（1），图中直线上的点O0,0)，P1,k)，当横坐标x从0到1增加一个单位时，纵坐标y从0增加到k（k0），我们称k为这条直线的斜率，不同的倾斜角对应不同的斜率。

图（2）中，由于△OPQ与△ABC相似，所以

CBQPCB==K，这样，斜率K可以用来计算

ACOQAC

实际上斜率K就是这条直线倾斜角的正切值。通常我们把tan也叫直线

的斜率，记ktan

探

究

问

题

（二）

如图（3），在直线l上任取两个不同点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)

设△x=x2-x1,

y

y2-y1

由相似三角形的关系可得kyy2y1xx2x1，所以，直线斜率可以表示为ky2y1x2x1，其

中x1x2. （2）.90°<<180°的直线的斜率

如图（4），直线上的点O0,0)P(1,k)，当横坐标x从0到1增加一个单位时，纵坐标y从0减少了k（k0），我们称-k为这条直线的斜率。

在以后的学习中，我们将知道，90°<

<180°的直线的斜率也可以用它的倾斜角的正切值表示。

(3)=0°的直线的斜率

由

k率为零。

（4）=90°的直线的斜率

由

k

y2y1x2x1可知，当=

0°时，纵坐标的增量为零，故此时直线的斜y2y1x2x1可知，当=

90°时，横坐标的增量为零，即分母为零无意

义。故倾斜角为90°的直线斜率不存在。

思考交流：

（1）0°≤90°时，斜率是非负的，倾斜角变化时，直线的斜率如何变化？

（2）90°<<180°时，斜率是负的，倾斜角变化时，直线的斜率如何变化？

呈现结论：（1）当倾斜角0°≤90°时，斜率是非负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大；

（2）当倾斜角90°<<180°时，斜率是负的，倾斜角越大，直线的斜率就越大。

概念辨析：下列哪些说法是正确的（

E

）



A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率



B.直线的倾斜角越大，斜率也越大



C.平行于x轴的直线的倾斜角是0°或180°



D.两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等



E.两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等

例1 已知直线的倾斜角求直线的斜率

通过本题，帮助学生理解概念，辨析概念，进一步达到对知识的巩固和深化。

及例练习题演示及练习（1）0°，（2）30°，（3）45°（4）60°

例2求过两点的直线的斜率

（1）

直线PQ过点P(2,3),Q(6,5)；

（2）

直线AB过点A(3,5),B(4,2)

变式训练：求图中直线OB，OC，OD的斜率

通过例题，使学生加强对概念的理解以及针对不同的条件如何去求直线的斜率。已达到“当堂学习，当堂训练，当堂巩固”的目的。

小结与作业

（一）引导学生从以下四个方面进行总结：

1直线倾斜角的定义及范围：[0,180)

2.直线斜率的定义：ktan(90)

3.斜率k与倾斜角的关系：

通过检查回顾，来掌握学生对知识的理解程度，以便在下一课时纠正错误弥补不足。

4.斜率公式:ky2y1(x1x2)

x2x1

（二）作业：课本第63页：4,5 反思提升：将从本节课中领悟到的解析几何的思想方法写成一篇数学日记

教

后

反

思

总结得失，反馈矫正。

例1 已知直线的倾斜角求直线的斜率

板书设计（1）0°，（2）30°，（3）45°（4）60°

例2求过两点的直线的斜率

（3）

直线PQ过点P(2,3),Q(6,5)；

（有学生上黑板解答（2））

（4）

直线AB过点A(3,5),B(4,2)

教师板书（1）的解答过程