1.2.1 充要条件教学设计第二课时

三元整合教学模式数学学科导学稿（学生版）

编写：莫小彬

审稿人：高二备课组

定稿日：

2019-06-10

一、课题：1.2 充要条件（人教版选修2-1P1113）

二、学习目标：1、理解充要条件的概念；2、掌握充要条件的证明方法，既要证明充分性又要证明必要性.

三、学习过程

（一）新课导学

探究一：充要条件的判断

1、充要条件的概念：

一般地,如果既有pq ，又有qp 就记作p  q.

即, 如果p  q,那么p 与

q互为充要条件

.

类比定义: 一般地，

若pq ,但q



p，则称p是q的充分但不必要条件；

若pq，但q



p，则称p是q的必要但不充分条件；

若pq，且q



p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

2、典例剖析

例1、下列各题中，哪些p是q的充要条件? ⑴p: b0，q：函数f(x)ax2bxc是偶函数；

⑵p: x0,y0,

q：xy0；

⑶p: ab

，

q：acbc.

变式练习3：在下列各题中, p是q的充要条件?

2(1) p:x3x4

, q:x3x4;

(2) p: x30,

q:(x3)(x4)0;

22(3) p: b4ac0(a0)

, q:axbxc0(a0)有实数根;

2(4) p: x1是方程axbxc0的根

，

q:abc0;

(5) p:在⊙O中圆心O到直线的距离d等于半径r，q:直线l与⊙O相切.

探究二：充要条件的证明

例2：已知O的半径是r，圆心O到直线l的距离为d，求证：dr是直线l与O相切的充要条件。

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小结：充要条件的证明思路

(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．

(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．

[注意]

证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向．

练习：证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.

探究三：充分条件与充要条件的应用

例3：已知p：2x10

，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

变式练习：已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若

p是q的必要条件，求实数a的取值范围．

充分条件与必要条件的应用技巧

(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．

(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．

（二）巩固练习：

1、在平面内，下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（

）. A、平行四边形对角线相等

B、四边形两组对边相等

C、四边形的对角线互相平分

D、四边形的对角线垂直

2、x,yR，下列各式中，哪个是“xy0”的必要条件？（

）. 3322A、xy0

B、xy0

C、xy0

D、xy0

2

3、若p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x＜2，则p是q的(

). A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

4、设p：x<3，q：－1

) A．充要条件

B．充分不必要条件C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

5、使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是(

) A．x≥0

B．x2≥－x

C．log2(x＋1)>0

D．2x<1

6、条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．

（三）学习小结

判断充分条件、必要条件与充要条件方法：

(1)

定义法：直接根据定义来判断。

(2)

集合法：可以用“小范围推出大范围”来记忆

记法

关系

结论

Bxq(x)，

AB

BA

A＝B p是q充分p是q必要p是q充要条件

不必要条件

不充分条件

Axp(x)AB且BA

p是q既不充分也不必要条件

四、疑难汇总

五、课外作业

1、“xMN”是“xMN”的（

）. A、充分不必要条件

B、必要不充分条件

C、充要条件

D、既不充分也不必要条件

2.设p：b24ac0(a0)，q：关于x的方程ax2bxc0(a0)有实根，则p是q的（

）. A、充分不必要条件

B、必要不充分条件

C、充要条件

D、既不充分也不必要条件

3

3.2x25x30的一个必要不充分条件是（

）. A、x3

B、x0

C、3x

D、1x6

4．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的(

) A．充分不必要条件

C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

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5.若“x＜m”是“(x－1)(x－2)＞0”的充分不必要条件，则m的取值范围是_

6、已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若N是M的必要条件，求a的取值范围

7、已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：x0.

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