3.1.1 空间向量及其加减运算教学设计第一课时

【3.1教材分析】本大节，空间向量及其运算共有5个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、两个向量的数量积、空间向量的正交及其坐标表示、空间向量运算的坐标表示。这一大节是全章的重点。有了平面概念的基础，我们可通过类比的方法，把平面向量及其运算推广到空间向量. 由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以例习题的编排也主要是立体几何问题。

本大节首先把平面向量及其线性运算推广到空间向量，学生已有了空间的线、面平行和面、面平行概念，这种推广对学生学习已无困难，但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间，一个向量已是空间的一个平移，两个不平行向量确定的平面已不是一个平面，而是互相平行的平行平面集，要让学生在空间上一步步地验证运算法则和运算律，这样做，一方面复***面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念。

当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量，把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间，然后由这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式，有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题。

在学习共线和共面向量定理后，我们学习空间最重要的基础定理：空间向量基本定理，这个定理是空间几何研究数量化的基础，有了这个定理空间结构变得简单明了，整个空间被3个不共面的基向量所确定，空间—个点或一个向量和实数组(x，y，z)建立起一一对应关系两个向量的数量积，由平面两个向量的数量积推广到空间，最重要的是让学生建立向量在轴上的投影概念。

选修2-1——3.1.1空间向量及其加减运算

3.1.2数乘运算（第1课时）

【教学目标】

1.

知识与技能

理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律. 2、过程与方法

能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．

3. 情感态度与价值观

通过平面向量类比学习空间向量，学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物。

【教学重点】空间向量的加减与数乘运算及运算律．

【教学难点】由平面向量类比学习空间向量．

【教学过程】

一、复习引入

1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？

既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a、b等表示；

用有向线段的起点与终点字母表示为：AB．

长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 2. 向量的加减以及数乘向量运算：

向量的加法：

向量的减法：

实数与向量的积：

实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：|λa|＝|λ||a|

(2)当λ＞0时，λa与a同向；

当λ＜0时，λa与a反向；

当λ＝0时，λa＝0. 3. 向量的运算运算律：加法交换律：a＋b＝b＋a

4. 问题：三个力都是200kg，相互间夹角为60°，能否提起一块重500kg的钢板？

二、新课讲授

1. 空间向量的定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模. 2.类比平面向量，回答或解决下面问题：（1）空间向量的表示法和记法；（2）什么向量是零向量，如何表示？（3）单位向量；（4）相反向量；（5）相等向量。

3. 讨论：空间任意两个向量是否共面？

4. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：

OBOAAB=a+b，

ABOBOA（指向被减向量），

OPλa

(R)（请说一说数乘运算的定义，86页）

5. 空间向量的加法与数乘向量的运算律．



⑴加法交换律：a

+b

= b

+ a；

⑵加法结合律：(a

+ b) + c

=a+ (b

+ c)；



⑶数乘分配律：λ(a

+ b)

=λa

+λb；(86页) 

⑷数乘结合律：λ(ua)

=(λu)a

．(86页) 6. 推广：⑴A1A2A2A3A3A4An1AnA1An；

⑵A1A2A2A3A3A4An1AnAnA10；

⑶空间向量的平行四边形法则．

三、例题讲练

已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCDA'B'C'D'（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：

⑵ABADAA'；

⑴ABBC；11

(3)ABADCC'；

⑷(ABADAA')．23四、师生共同探究

（Ｐ８５的探究问题）

五、课堂练习

课本p86的练习1、2、3

六、小结：

1.本节课学习了那些概念、运算？

2. 化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法既可转化成加法，也可按减法法则进行运算，加法和减法可以转化. 3.空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．

4.本节课运用的数学思想方法是什么？（类比的方法。由平面向量类比学习空间向量）

七、作业布置：P97

A组

1、2题.

3.1.1—3.1.2空间向量及其加减运算

数乘运算（第1课时）课前练习

班级 姓名 预习指引：课本84--86页

1.

在空间，我们把具有 的量叫做空间向量．

2. 用表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的

. 长度（模）为

叫做零向量，记为

. 模为

的向量称为单位向量. 3. 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的

；方向相同且模相等的向量称为

。

4. 空间任意两个向量

一定共面（填：是、不）.

5. 空间向量数乘的定义：实数λ与空间向量a的乘积

仍然是一个向量，称为向量的数乘运算.

6. 空间向量的加法与数乘向量的运算律．



⑴加法交换律：a

+b

=

；

⑵加法结合律：(a

+ b) + c

=

；



⑶数乘分配律：λ(a

+ b)

=

；



⑷数乘结合律：λ(ua)

=

.

课前练习答案

1.

大小和方向的量

；2. 长度（或模），零

，

0，1；3. 相反向量，相等向量；

aaaa4.是；5. λ

；6. （1）b

+ ；（2）+ (b

+ c)；（3）λ

+λb；（4）(λu)a

．

3.1.1—3.1.2空间向量及其加减运算

数乘运算（第1课时）课后检测

班级 姓名 1. 下列说法中正确的是（

）

A. 若∣a∣=∣b∣，则a，b的长度相同，方向相同; B. 若a与b是方向相同的非零向量，则∣a∣=∣b∣; C. 空间向量也满足平行四边形法则和三角形法则; D. 在四边形ABCD中，一定有ABADAC. 2. 已知向量a，b是两个非零不共线的向量，a0,b0是分别与a，b同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（

）

A. a0b0

B. a0b0或a0b0

C. a01

D. ∣a0∣=∣b0∣

3. 在四边形ABCD中，若ACABAD,则四边形是（

）

A. 矩形

B. 菱形

C. 正方形

D. 平行四边形

4.长方体ABCDA'B'C'D'中，化简AA'ABAD= （ ）

A. AB B.AD C. AC D.AC

5. 化简ABACBDCD= .

''''

'A'B'C（'D上图）中，用AB,AD,AA'表示DB', 则6. 在平行六面体ABCDDB'=

. 7. 如图，在棱长为1的正方体ABCDA1BC11D1中，

设ABa,ADb,AA1c,

（1）用a,b,c表示AC1和BD1；

（2）求ADAB和B1ABC1的模。

8. 如图，在长、宽、高分别为AB4,AD2,AA11

A D1 B1 D B C1 A1 C 的长方体ABCDA1BC11D1的八个顶点中，以一个为起点，另一个为终点的向量中

D1 （1）单位向量有哪几个？

（2）写出AB1的相反向量。

A1 D A B B1 C1 C 课后检测答案

1.Ｃ

；2.D ；3.D ;4.D; 5.0; 6.ABADAA

；

7.（1）AC1abc，BD1abc；

（2）ADABAC2，设AC与BD相交于点E，根据空间向量加法平行四边形法则，B1ABC2B1E，所以，B1AB1C2B1E6. 18. （1）AA1,BB1,CC1,DD1以及它们的相反向量，共8个单位向量. （2）B1A,C1D.