2.1.4 平面与平面之间的位置关系名师教学实录

2.1.4

平面与平面之间的位置关系

学习目标

1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系.2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.3.掌握空间中平面与平面的位置关系．

知识点一

直线和平面的位置关系

思考

如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？

答案

三种位置关系：(1)直线在平面内；(2)直线与平面相交；(3)直线与平面平行．

梳理

直线l与平面α的位置关系

(1)直线l在平面α内(l⊂α)．

直线l与平面α相交l∩α＝A(2)直线l在平面α外l⊄α)

直线l与平面α平行l∥α

知识点二

两个平面的位置关系

思考

观察前面问题中的长方体，平面A1C1与长方体的其余各个面，两两之间有几种位置关系？

答案

两种位置关系：两个平面相交或两个平面平行．

梳理

平面α与平面β的位置关系

位置关系

两平面平行

图示

表示法

α∥β

公共点个数

0个

两平面相交

1．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.(×) α∩β＝l 无数个点(共线) 2．若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．(×)

3．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．(×)

类型一

直线与平面的位置关系

例1

(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是(

) A．直线上所有的点都在平面外

B．直线上有无数多个点都在平面外

C．直线上有无数多个点都在平面内

D．直线上至少有一个点在平面内

(2)下列四个命题中正确命题的个数是(

) ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；

②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；

③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；

④如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α. A．0

B．1

C．2

D．3 考点

空间中直线与平面之间的位置关系

题点

空间中直线与平面之间的位置关系的应用

答案

(1)B

(2)B 解析

(1)直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外．

(2)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；③中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即③正确；④显然不正确，故选B.

反思与感悟

在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．

跟踪训练1

(1)若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(

) A．α内的所有直线都与直线a异面

B．α内不存在与a平行的直线

C．α内的直线都与a相交

D．直线a与平面α有公共点

考点

空间中直线与平面之间的位置关系

题点

空间中直线与平面之间的位置关系的应用

答案

D 解析

直线a不平行于平面α，则a与平面α相交或a⊂α，故选D. (2)一条直线l上有相异的三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是(

) A．l∥α

B．l⊥α

C．l与α相交但不垂直

D．l∥α或l⊂α

考点

空间中直线与平面之间的位置关系

题点

空间中直线与平面之间的位置关系的应用

答案

D 解析

当l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；当l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；当l⊥α时，直线l上到α的距离相等且不为0的点有两个；当l与α斜交时，直线l上到α的距离相等且不为0的点有两个．

类型二

平面与平面的位置关系

命题角度1

空间平面和平面位置关系的判断

例2

在以下三个命题中，正确的命题是(

) ①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③在平面α，β内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面平行或相交．

A．①②

B．②③

C．③

D．①③

考点

平面与平面之间的位置关系

题点

平面与平面之间的位置关系判定

答案

C 解析

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①，平面AA1D1D中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1，DD1的中点E，F，连接EF，则EF∥平面A1B1C1D1，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错；对于②，平面AA1D1D中，与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故命题②错．命题③是正确的，故选C.

反思与感悟

利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判定与两个平面的位置关系有关命题的真假，另外先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的

有效方法．

跟踪训练2

(1)一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零，则这两个平面(

) A．平行

B．相交

C．平行或重合

D．平行或相交

考点

平面与平面之间的位置关系

题点

平面与平面之间的位置关系判定

答案

D 解析

当三点在平面α的同侧时，如图1所示，由点A，B，C到平面α的距离相等，设到α的点为D，E，F，则有构成三个长方形ABED，BCFE，CADF，于是就有AB∥DE，BC∥EF，因为两相交直线平行，所以α∥β.当三点在平面β的异侧时，如图2所示也成立．

(2)已知两平面α，β平行，且a⊂α，下列四个命题：

①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．

其中正确命题的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 考点

线、面关系的综合问题

题点

线、面关系的其他综合问题

答案

B 解析

①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③中直线a与β内的无数条直线垂直；④根据定义a与β无公共点，正确．

命题角度2

两平面位置关系的作图

例3

(1)画出两平行平面；

(2)画出两相交平面．

考点

平面与平面之间的位置关系

题点

图形语言及图形语言与符号语言的互化

解

两个平行平面的画法：画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如图a所示．

两个相交平面的画法：第一步，先画表示平面的平行四边形的相交两边，如图b所示；第二步，再画出表示两个平面交线的线段，如图c所示；第三步，过b中线段的端点分别引线段，使它们平行且等于图c中表示交线的线段，如图d所示；第四步，画出表示平面的平行四边形的第四边(被遮住部分线段可画成虚线，也可不画)，如图e所示．

引申探究

在图中画出一个平面与两个平行平面相交．

解

跟踪训练3

试画出相交于一点的三个平面．

考点

平面与平面之间的位置关系

题点

图形语言及图形语言与符号语言的互化

解

如图所示(不唯一)．

1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(

) A．一条直线不相交

C．无数条直线不相交

B．两条直线不相交

D．任意一条直线不相交

考点

空间中直线与平面之间的位置关系

题点

空间中直线与平面之间的位置关系的应用

答案

D 解析

直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点．

2．下列说法中正确的是(

) A．两个平面可以只有一个交点

B．一条直线与一个平面最多有一个公共点

C．两个平面有一个公共点，则它们相交或重合

D．两个平面有三个公共点，它们一定重合

考点

平面与平面之间的位置关系

题点

平面与平面之间的位置关系判定

答案

C 解析

两平面有公共点，包括两平面重合或相交．

3．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为(

) A．平行

C．相交或直线在平面内

B．直线在平面内

D．平行或直线在平面内

考点

空间中直线与平面之间的位置关系

题点

空间中直线与平面之间的位置关系的判定

答案

D 4．两条相交直线a，b都在平面α内且都不在平面β内，且平面α与β相交，则a和b(

) A．一定与平面β都相交

C．至多一条与平面β相交

考点

平面与平面之间的位置关系

题点

平面与平面之间的位置关系判定

答案

B 解析

设α∩β＝c，

若直线a，b都不与β相交，则a∥c，b∥c，

∴a∥b，这与直线a，b相交矛盾，

故直线a，b中至少一条与β相交．

5．若三个平面两两相交，则它们交线的条数为________．

考点

线、面关系的综合问题

题点

线、面关系的其他综合问题

答案

1或3 解析

若三个平面两两相交，有可能交于一条直线，也有可能出现3条不同的交线．

1．弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析．

2．长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何中的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱”之称.

B．至少一条与平面β相交

D．可能与平面β都不相交