习题2.3教学设计实例

第二章

2.3

2.3.4

基础巩固

一、选择题

1．平面α⊥平面β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则(

) A．m∥β

C．m⊥β

[答案]

C 2．已知平面α⊥平面β，直线a⊥β，则(

) A．a⊂α

C．a⊥α

[答案]

D 3．(2015·合肥高一检测) 空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是(

) A．锐角三角形

C．钝角三角形

[答案]

B 4．如下图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是(

) B．直角三角形

D．不能确定

B．a∥α

D．a⊂α或a∥α

B．m⊂β

D．m与β相交但不一定垂直

A．一条线段

C．一个圆

[答案]

D [解析]

∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC．

又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC．∴∠ACB＝90°. ∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．

ππ5．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、46B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则ABA′B′等于(

) B．一条直线

D．一个圆，但要去掉两个点

A．C．

B．D．

[答案]

A π[解析]

由已知条件可知∠BAB′＝，

4π∠ABA′＝，设AB＝2a，

6ππ则BB′＝2asin＝2a，A′B＝2acos＝3a，

46∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴ABA′B′＝

6．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(

)

A．直线AB上

C．直线AC上

[答案]

A [解析]

∵AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面ABC1，

又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，

∴C1在平面ABC上的射影H必在平面ABC1与平面ABC的交线AB上，故选A．

二、填空题

7．平面α⊥平面β，直线l⊂α，直线m⊂β，则直线l，m的位置关系是________. [答案]

相交、平行、异面

8．三棱锥P－ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的________心．

[答案]

垂

[解析]

由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直，则有BC⊥PA，AB⊥PC，CA⊥PB，又由BC⊥PA，PH⊥BC，得BC⊥平面PAH，则BC⊥AH，同理有AB⊥CH，CA⊥BH，所以H为△ABC高线的交点，即垂心．

B．直线BC上

D．△ABC内部

三、解答题

9．把一副三角板如图拼接，设BC＝6，∠A＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD⊥平面ACD．

[证明]

平面ABC⊥平面BCD⇒CD⊥平面ABCCD⊥BC

AB⊂平面ABC⇒



CD⊥AB⇒AB⊥平面ACDAB⊥AC

AB⊂平面ABD⇒平面ABD⊥平面ACD．

10.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．

(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；

(2)求证：平面PAB⊥平面PCD．

[解析]

(1)∵CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，

且平面ABCD∩平面PBO＝BO，

∴BO∥CD．

又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形．

则BC＝DO，而AD＝3BC，

∴AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．

(2)证明：∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，且AB⊥AD，

∴AB⊥平面PAD．

又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD．

又PA⊥PD，且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA＝A，∴PD⊥平面PAB．

又PD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．

能力提升

一、选择题

1．在空间中，下列命题正确的是(

) A．若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面

B．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥α

C．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面β

D．若直线a∥b，且直线l⊥a，则l⊥b

[答案]

D [解析]

选项A中，若有3个交点，则确定一个平面，若三条直线交于一点，则不一定能确定一个平面，如正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1，AB，AD两两相交，但由AA1，AB，AD不能确定一个平面，所以A不正确；选项B中，缺少条件m是平面α外的一条直线，所以B不正确；选项C中，不满足面面垂直的性质定理的条件，必须是α内垂直于l的直线，所以C不正确；由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直，那么另一条也与第三条直线垂直，所以D正确．

2．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是(

) A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂β

C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β

[答案]

C [解析]

l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β，A错；

l∥α，α∥β⇒l∥β或l⊂β，B错；

l⊥α，α∥β⇒l⊥β，C正确；

若l∥α，α⊥β，则l与β位置关系不确定，D错．

3．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则能够得出a⊥b的是(

) A．a⊥α，b∥β，α⊥β

C．a⊂α，b⊥β，α∥β

[答案]

C [解析]

b⊥β，α∥β，∴b⊥α，又a⊂α，∴b⊥a. 4.如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形(A′不与A，F重合)，则下列命题中正确的是(

) B．a⊥α，b⊥β，α∥β

D．a⊂α，b∥β，α⊥β

B．若l∥α，α∥β，则l⊂β

D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β

①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；

②BC∥平面A′DE；

③三棱锥A′－FED的体积有最大值．

A．①

C．①②③

[答案]

C [解析]

注意折叠前DE⊥AF，折叠后其位置关系没有改变．

①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，

∴点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．

②BC∥DE，BC⊄平面A′DE，DE⊂平面A′DE，

∴BC∥平面A′DE. ③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′－FED的体积达到最大．

二、填空题

5.如右图所示，P是菱形ABCD所在平面外的一点，且∠DAB＝60°，边长为a.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB与平面AC所成的角为θ，则θ＝________. B．①②

D．②③

[答案]

45°

[解析]

如图所示，取AD的中点G，连接PG，BG，BD．

∵△PAD是等边三角形，

∴PG⊥AD，又平面PAD⊥平面AC，平面PAD∩平面AC＝AD，PG⊂平面PAD，

∴PG⊥平面AC，∴∠PBG是PB与平面AC所成的角θ. 在△PBG中，PG⊥BG，BG＝PG，

∴∠PBG＝45°，即θ＝45°. 6．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC．在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________.

1[答案]

(，1) 2[解析]

如图，过D作DG⊥AF，

垂足为G，连接GK，

∵平面ABD⊥平面ABC，又DK⊥AB，

∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF. ∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK. 容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K接近AB的四等1分点．所以t的取值范围是(，1)．

2三、解答题

7．(2015·甘肃兰州一中期末) 如图，四棱锥A－BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝2，AB＝AC，CE与平面ABE所成的角为45°. (1)证明：AD⊥CE；

(2)求二面角A－CE－B的正切值．

[解析]

(1)证明：如图，取BC的中点H，连接HD，交CE于点P，连接AH，AP. ∵AB＝AC，

∴AH⊥BC．

又∵平面ABC⊥平面BCDE，

∴AH⊥平面BCDE，

又CE⊂平面BCDE，

∴AH⊥CE. HCCD1又∵＝＝，∠BCD＝∠CDE＝90°，

CDDE2∴Rt△HCD∽Rt△CDE. ∴∠CDH＝∠CED，

∴HD⊥CE.又AH∩HD＝H，

∴CE⊥平面AHD．

∴AD⊥CE. (2)由(1)CE⊥平面AHD，得AP⊥CE，

又HD⊥CE，

∴∠APH就是二面角A－CE－B的平面角．

过点C作CG⊥AB，垂足为G，连接EG. ∵BE⊥BC，且BE⊥AH，AH∩BC＝H，

∴BE⊥平面ABC，

∴BE⊥CG，又BE∩AB＝B，

∴CG⊥平面ABE，∴∠CEG就是CE与平面ABE所成的角，则∠CEG＝45°，

又CE＝22＋22＝6，

∴CG＝EG＝3. 又BC＝2，∴∠ABC＝60°，

∴AB＝BC＝AC＝2，∴AH＝3. 又由△HCP∽△DEP得HP＝AH∴tan∠APH＝＝3. HP8．(2011·江苏)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．

求证：(1)直线EF∥平面PCD；

(2)平面BEF⊥平面PAD．

3，

3

[解析]

(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD．

又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，

所以直线EF∥平面PCD．

(2)连接BD．因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．

因为平面PAD⊥平面ABCD，

BF⊂平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD，

又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD．