1.2.2 充要条件公开课参赛课教案

1.2.2 充要条件

教材分析

：

充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础．这节内容被安排在高二第一学期第一章“常用逻辑用语”的第二节。

有了“四种命题”的知识铺垫，既可以使学生丰富并深化对命题的理解，也便于老师讲透充要条件这一基本数学概念。

课时分配：

本节内容用1课时的时间完成。

教学目标：

重点:

1．理解充要条件的意义；

2．命题条件的充要性判断。

难点：命题条件的充要性判断。

知识点：1．充要条件的概念；

2．判断命题条件的充要性的方法。

能力点：1．理解并掌握充要条件的概念；

2．掌握判断条件的充要性的方法；

3.培养学生简单的逻辑推理能力。

自主探究点：充要条件的证明；从集合角度理解命题关系。

考点：充要条件的概念：等价转化思想。

易错易混点：概念比较抽象，加强对充分条件与必要条件的理解。

教学过程：

（一）新课导入

引入1 已知 p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，那么，p是q的什么条件？

在上述问题中，p  q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件。

另一方面，q  p，所以p也是q的必要条件，q也是p的充分条件。

引入2 “在△ABC

中，p: AB＝AC，q: 

B＝

C”，那么，p是q的什么条件？

解:p



q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件。

另一方面，q



p，所以p也是q的必要条件，q也是

p的充分条件。

（二）课堂探究

探究点1 充要条件的含义

1.充分条件与必要条件的含义分别是什么？

如果“ p



q

”，则称p是q的充分条件，且q是p的必要条件. 2.对于两个语句，p可能是q的充分条件，p也可能是q的必要条件，除此以外p与q之间的逻辑关系还有哪些可能？

（三）引入概念

1.一般地，如果既有p 

q，又有q 

p，就记作p q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件（sufficient and necessary condition）. 注意：如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p ⇔

q，那么p与q互为充要条件. 2.形如“若p，则q ”的命题中存在以下四种关系

：

判断p是q的什么条件，并填空：

（1）

p：

x 是整数是

q：x是有理数的 ；

（2）

p：

ac＝bc是

q：a＝b的 ；

（3）

p：

x＝3 或x＝-3是

q：x2＝9 的 ；

（4）

p：同位角相等是

q：两直线平行的 ；

（5）

p：(x-2)(x-3)＝0 是

q：x-2＝0 的 ．

探究点2 判断充分条件、必要条件的方法

1.直接用定义判断

（四）典例精析

例1下列各题中，哪些p是q的充要条件．

（1）p：b＝0，

q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；

（2）p：x＞0,y＞0，q：xy＞0；

（3）p：a＞b，q：a＋c＞b＋c；

（4）p：两直线平行；q：两直线的斜率相等. 2.利用命题的四种形式进行判定

（四）典例精析

例2 已知⊙O 的半径为r，圆心O到直线l的距离为d. 求证

d = r是直线

l 与⊙O

相切的充要条件. 【解析】设：p：d=r，q：直线l与⊙O

相切. 要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性（pq）和必要性（qp）即可. 证明：如图所示. （1）充分性（pq）：

作OP⊥l于点P则OP=d，若d=r，则点P在⊙O

上，在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ. 在Rt△OPQ中，OQ>OP=r. 所以，除点P外直线l上的点都在⊙O

的外部，

即直线l与⊙O仅有一个公共点P.所以直线l与⊙O

相切. （2）必要性（qp）: 若直线 l 与⊙O 相切，不妨设切点P，则OP ⊥ l. 因此，d = OP = r . （五）课堂练习

教材P12练习 1、2 （六）课堂小结

1.充要条件的概念

：

既有pq，又有qp，就记作pq.则

p 是

q 的充分必要条件，简称充要条件. 2.形如“若p，则q ”的命题中存在以下四种关系

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（七）课后作业

1.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是 ( ) A．ab＞0 B．ab＜0 C．ac＞0 D．ac＜0．

2.若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，那么D是A的___________________. 3.试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充

要条件是ac＜0。