3.1.2 导数的概念优质课教学设计

导数的概念

教学内容剖析: 1.在本节内容之前教材设置的是《变化率与平均变化率》，为推导出本节内容提供了许多丰富的实例背景, 2.本节内容的设置为学习《导数的几何意义》、《导数与函数单调性》、《导数与极值》奠定了坚实的理论基础. 教学目标: 一、知识目标: 1.理解导数的概念, 2.会运用导数定义式求函数在x0处的导数值. 二、能力目标: 1.培养学生归纳推理能力, 2.发展学生辩证思维能力. 三、情感目标: 使学生进一步体会极限的思想，感受数学逻辑与形式之美. 教学重难点: 重点：

1.理解导数的概念；

2.会运用导数的定义求解函数在x0处的导数值. 难点：导数概念的突破. 学生学情分析: 1.学生学习过了《变化率与平均变化率》，已经有了一定的理论基础,

2.由于导数概念的高度抽象导致学生对于导数的概念理解乏力. 教学策略: 为了使本节课的内容丰满而立体，教师选择将《变化率与平均变化率》中的瞬时速度例题后移，成为本节内容的例1；如此设置可以使得导数概念的推导更加完整而及时.在导数概念的推导中，教师加入了割线的极限位置，通过ppt的形象演示，利用视觉观感加深学生对于极限的理解.由两者共性出发，再结合多种实例，归纳推理出导数的概念. 一静一动,层层推导的设置可以帮助教师引领学生突破本节的教学难点. 对于导数的概念认真而细致的解读,有助于学生理解导数的概念,掌握相关的数学符号的使用,并加强学生做题严谨性这一数学素质的培养. 讲解完导数的概念及相关数学符号后，需先将知识内容进行推进深化，从导数的概念过渡到导数的定义式，实现学以致用这一实用性的转化.接着设置例2，对导数定义式的用途赋予丰满的形象说明；从而使得导数的概念实现第一次的螺旋上升.通过对例2的学习，学生大致掌握了导数定义式的使用，此时，教师及时设置当堂练习，巩固学习成果，并为导数概念实现第二次螺旋上升提供准备.由于不同学生对于导数定义式的理解，当堂训练出现了多种解法.教师要求学生对不同解法共性的挖掘，实现了导数概念的第二次螺旋上升，得到了导数是一种形式定义这一结论. 学以致用，数往知来,设置当堂检测；教师选择具有针对性的习题，

加固学生对导数是形式定义的理解.通过不同层次习题的设置，完成导数概念的螺旋上升，让学生多角度体会数学之美. 课堂的最后，教师先选择学生对本节内容进行小结，再设置了不同的课后作业，为导数的后续知识埋下伏笔. 教学过程

一、导数概念的引入

提出问题:小明的家离学校只有2kg，如果小明今天在路上所花的时间是0.1h；请问，小明上学的速度是不是20km/h？

例1. 一个小球从高空自由落下，其走过的路程s与时间t的函数关系式为:s=gt2；试估计小球在t=5这个时刻的瞬时速度. 析：当时间t从t0变到t1时，根据平均速度公式：v可以求出从5s到6s的这段时间的平均速度: s(6)s(5)176.4122.553.9m/s.

65112ss(t1)s(t0). tt1t0为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如求出5-5.1s这段时间的平均速度:

如果时间间隔进一步缩短，那么平均速度就更接近小球在t=5s这s(5.1)s(5)127.45122.549.5m/s.

5.150.11个时刻的瞬时速度.我们将时间间隔每次缩短为前面的,计算出相10应的平均速度得到下表.

t0

t1

t

0.1 0.01 0.001 s

4.95 0.49049 0.04901 st

5 5 5 5.1 5.01 5.001 t0

t1

t

-0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 ... s

-4.851 -0.4895 -0.048995 -0.004899 ... st

... 5 5 5 5 5 4.9 4.99 4.999 4.9999 ...

5 5 5.0001 ... 0.0001 ... 0.0049 ...

... 定值49m/s就是自由落体在5s时的瞬时速度. 总结：无论是从5的左侧趋近于5，还是从5的右侧趋近于5，平均速度都趋于49m/s.

二、导数的概念

函数y关于x的平均变化率:y x 当x1x0，即x0，如果平均变化率趋于有一个固定的值，那么这个值就是函数f(x)在x0点的瞬时变化率. 在数学中，称瞬时变化率为函数f(x)在x0点的导数.通常用符号 f'(x0)表示，记作:f'(x0)limx1x0f(x1)f(x0)f(x0x)f(x0). limx0x1x0x例2：一条水管中流过的水量y(单位:m3)是时间x(单位:s)的函数,求函数yf(x)3x在x2处的导数,并解释它的实际意义. 解:当x从2变到2+x时,函数值从3×2变到3(2+x),函数值y关于x的平均变化率为:f(2x)f(2)3(2x)323x3. xxx当x趋于2,即x趋于0时,平均变化率趋于3,所以,水管中的水在2秒时的瞬时水量是3m3/s . 当堂练习:求函数f(x)x2在x1时的导数值.

三、导数符号语言

f'(x0)limf(x1)f(x0)f(x0x)f(x0)

limx0x1x0xx1x0总结:导数是一种________定义. 导数符号语言的几种等价形式:

1.___________________ 2.___________________ 当堂检测: lim1.设f(x)是可导函数,若x0f(x02x)f(x0)2,则f'(x0)( ) xA. -1 B. 1 C.0 D.-2 2.若函数f(x)在区间(a,b)内可导,且x0(a,b),则x0limf(x0h)f(x0h)

h A. f'(x0) B. 2f'(x0) C. 2f'(x0) D.0 lim变式: 设f(x)是可导函数,若x0f(x02x)f(x0x)3,则xf'(x0)( ) A.

-1 B.1 C.0 D.-2 课堂小结:

作业布置: 1.根据例2中的函数,求f'(4),并解释它的实际意义. 2.设x(单位:km)表示从一条河流的某一处到其源头的距离, y(单

位:km)表示这一点的海拔高度, y是x的函数.若函数yf(x)在x100处的导数f'(100)0.1,试解释它的实际意义. 五、导数概念的拓展

1.如图所示，请试着描述割线(绿线)与切线(红线)的关系.

2.下面是四种容器的侧面图,分别向这四种容器中以相同的速度注水.

下面的图像中哪个图像可以大致刻画容器中水的高度h与时间s的函数关系: