3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示课堂实录

空间向量的正交分解及其坐标表示

教学目标

1.掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；

2.掌握空间向量的坐标运算的规律；

3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．

重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算．

难点：理解空间向量基本定理．

教学过程

一、创设情景

→→→1.如图3－1－23所示平行六面体中，若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，→能否用a，b，c表示向量AC1？

→【答案】

AC1＝a＋b＋c. 2.在图中任找一向量p，是否都能用a，b，c来表示？

图3－1－23 【答案】

是．

二、建构数学

如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量. 空间向量的正交分解及其坐标表示

三、问题导思

→1.如图3－1－24正方体的棱长为3，向量AB1如何用向量e1、e2、e3(e1、e2、e3为棱AB、AD、AD1上的单位向量)表示？

→→→→【答案】

AB1＝AB＋AD＋AD1＝3e1＋3e2＋3e3. 2.基底{e1，e2，e3}与图3－1－23中的基底{a，b，c}有何不同？

图3－1－24 【答案】

e1、e2、e3为单位向量且相互垂直．

1.有公共起点O的三个两两垂直的单位向量e1、e2、e3称为单位正交基底．

2.以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz. 3.空间向量的坐标表示

→对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x

e1＋y

e2＋z

e3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z).

典题解析

例1.若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．

[思路点拨]

判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．

解:假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ，μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}为基底．∴a，b，c不共面．

1＝μ，∴1＝λ，此方程组无解，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．

0＝λ＋μ.∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．

小结：判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．

2、例2 如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB,AC，M,N分别是对边OA,BC的中点，点G在线段MN上，且MG2GN，用基底向量OA,OB,OC表示向量OG.

解：OGOMMG

O2OMMN312OA(ONOM)231211OA[(OBOC)OA]

2322111OA(OBOC)OA233111OAOBOC633

∴OG

MGCNAB111OAOBOC633

OP＝c，[例2]

四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC.设OA＝a，OC＝b，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示BF，BE，AE，EF. [思路点拨]

结合已知和所求，画出图形，联想相关的运算法则和公式等，再对照目标及基底，将所求向量反复分拆，直到全部可以用基底表示为止．

[精解详析]

连接BO，

1111111则BF＝BP＝(BO＋OP)＝(BA＋AO＋OP)＝(c－b－a)＝－a－b＋c. 2222222BE＝BC＋CE＝－a＋2CP＝－a＋2(CO＋OP)＝－a－2b＋2c. 1111AE＝AP＋PE＝AO＋OP＋2(PO＋OC)＝－a＋c＋2(－c＋b)＝－a＋2b＋2c. EF＝2CB＝2OA＝2a. 课堂训练

1.下列结论错误的是(

) A.三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面

B.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底则这两个向量共面

C.若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底

→→→D.若OA，OB，OC不能构成空间的一个基底，则O、A、B、C四点共面

【答案】

C →→→→2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CDD1C1的中心，且AF＝AD＋mAB－nAA1，则(

) 1111A．m＝，n＝－

B．m＝－，n＝－

22221111C．m＝－，n＝

D．m＝，n＝

2222【答案】

A 3.设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a，1111111

b的坐标分别是________．

【答案】

(3,2，－1)，(－2,4,2) 课堂小结

1.正交分解的推导和空间向量基本定理；

2.如何将向量用坐标表示；

3.任意空间向量在某组基底下的分解。

作业布置