3.1.1 空间向量及其加减运算特级教师教学实录

空间向量及其加减运算

一、教学目标：1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示. 2.掌握空间向量的加减运算及运算律，理解向量减法的几何意义．

二、教学重、难点：间向量的加减运算及运算律，向量减法的几何意义．

三、教学过程：

（一）复***面向量的概念及表示；

（二）新课讲解：

1、(1)空间向量的定义

在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．

(2)空间向量及其模的表示方法

空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，向量a的起点是A，终点→→是B，则向量a也可记作AB，其模记为|a|或|AB|. (3)特殊向量

名称

零向量

单位向量

相反向量

相等向量

定义及表示

规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 模为1的向量叫做单位向量

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a

方向相同且模相等的向量称为相等向量，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量

2、空间向量的加法、减法

类似于平面向量，定义空间向量的加法和减法运算(如图)：

→→→OB＝OA＋AB＝a＋b；

→→→CA＝OA－OC＝a－b.知识点三

空间向量加法的运算律

空间向量的加法运算满足交换律及结合律：

(1)交换律：a＋b＝b＋a；

(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

3、应用举例

例1

判断下列命题的真假．

(1)空间中任意两个单位向量必相等；

(2)方向相反的两个向量是相反向量；

(3)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；

→→(4)向量AB与BA的长度相等．

解

(1)假命题．因为两个单位向量，只有模相等，但方向不一定相同．

(2)假命题．因为方向相反的两个向量模不一定相等．

(3)假命题．因为两个向量模相等时，方向不一定相同或相反，也可以是任意的．

→→(4)真命题．因为BA与AB仅是方向相反，但长度是相等的．

反思与感悟

空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．

跟踪训练1

如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，

→(1)试写出与AB相等的所有向量；

→(2)试写出AA1的相反向量；

→(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量AC1的模．

→→→→解

(1)与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)有A1B1，DC及D1C1共3个．

→→→→→(2)向量AA1的相反向量为A1A，B1B，C1C，D1D. →(3)|AC1|＝3. →例2、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为BD1的是(

)

→→→①A1D1－A1A－AB；

→→→②BC＋BB1－D1C1；

→→→③AD－AB－DD1；

→→→④B1D1－A1A＋DD1. A．①②

C．③④

B．②③

D．①④

答案

A →→→→→→解析(1)A1D1－A1A－AB＝AD1－AB＝BD1；

→→→→→→(2)BC＋BB1－D1C1＝BC1＋C1D1＝BD1；

→→→→→→→→→(3)AD－AB－DD1＝BD－DD1＝BD－BB1＝B1D≠BD1；

→→→→→→→→→(4)B1D1－A1A＋DD1＝BD＋AA1＋DD1＝BD1＋AA1≠BD1，故选A. 反思与感悟：运用法则进行向量的线性运算时要注意关键的要素：

(1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；(2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”；(3)平行四边形法则：“起点重合”；(4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”．

→跟踪训练2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量AC1的是________(填序号)．

→→→→→→→→→→→→①(AB＋BC)＋CC1；②(AA1＋A1D1)＋D1C1；③(AB＋BB1)＋B1C1；④(AA1＋A1B1)＋B1C1. 答案①②③④

→→→→→→→→→→→→→解析①(AB＋BC)＋CC1＝AC＋CC1＝AC1；②(AA1＋A1D1)＋D1C1＝AD1＋D1C1＝AC1；③(AB→→→→→→→→→→→＋BB1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1；④(AA1＋A1B1)＋B1C1＝AB1＋B1C1＝AC1.所以所给四个式→子的运算结果都是AC1. →→→→例3、已知平行六面体ABCDA′B′C′D′.求证：AC＋AB′＋AD′＝2AC′.

证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形，

→→→→→→→→→∴AC＝AB＋AD，AB′＝AB＋AA′，AD′＝AD＋AA′，

→→→→→→→→→∴AC＋AB′＋AD′＝(AB＋AD)＋(AB＋AA′)＋(AD＋AA′) →→→＝2(AB＋AD＋AA′)．

→→→→又∵AA′＝CC′，AD＝BC，

→→→→→→→→→∴AB＋AD＋AA′＝AB＋BC＋CC′＝AC＋CC′＝AC′，

→→→→∴AC＋AB′＋AD′＝2AC′. 反思与感悟：利用三角形法则或平行四边形法则画出和向量或差向量时，一定要注意和(差)向量的方向．必要时利用空间向量可自由平移，使作图容易．

四、课堂训练及作业：当堂检测，课时精炼

五、课堂小结

1.空间向量的概念和平面向量类似，向量的模、零向量、单位向量、相等向量等都可以结合平面向量理解．

2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行运算．