第四章 圆与方程（通用）优秀教学实录

必修2第四章《圆与方程》复习课教学设计

人教A版普通高中课程标准实验教科书必修2第四章《圆与方程》第119页有这样一道例题：

例2

ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆方程. 本例题在复习ABC外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,以及圆的标准方程和圆的一般方程后,可以给出三种解法,体现一题多解. 解法一:圆心在线段AB的中垂线x-2y-8=0上，圆心还在线段BC的中垂线x+y+1=0上，则由又r=x2y80可得圆心坐标为（2，-3）. xy102531225. 故ABC的外接圆的方程为(x2)2(y3)225. 解法二：设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有

(5a)2(1b)2r2a2222，解得(7a)(3b)rb3

r225(2a)2(8b)2r2故ABC的外接圆的方程为(x2)2(y3)225

解法三：设圆的一般方程为x2y2DxEyF0，则有

265DEF0D4587D3EF0，解得E6. 682D8EF0F12故ABC的外接圆的方程为x2y24x6y120. 在给出上述解法后，再层层提出以下问题，让例题起到一线串珠的作用. 问题1：指出ABC的外接圆的圆心与半径，并画出它的图形. 圆心为(2,-3)半径为5，并利用几何画板画出它的图形，强调并演示说明圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. ABC的外接圆与x轴的交点为问题2：（-2,0）和（6,0），与y轴的交点是（0，，335）（0，335）. 问题3：判断点D（5，-7），H（3，-6），F(1，-10)与ABC的外接圆的位置关系？

点D在圆上，点H在圆内，点F在圆外. 复习点与圆的位置关系，并利用几何画板标出这些点. 问题4：求DF,FH,HD所在直线方程，并判断这些直线与ABC的外接圆的关系？

DF所在直线方程为3x-4y-43=0它与圆相切. FH所在直线方程为2x-y-12=0它与圆相交，试问它被圆所截的弦长是多少？

圆心（2，-3）到直线2x-y-12=0的距离为d43125，则弦长为52R2d245.

HD所在直线方程为2x+y-3=0,它与圆相交，它被圆所截的弦长为465. 5在问题3的基础上来解决问题4，既自然流畅又水到渠成，进而复习了直线与圆的位置关系，还复习了点到直线的距离，利用几何画板画出这些图形，让学生进一步从直观上把握这些图形间的位置关系. 问题5：试求ABC的外接圆关于直线3x-4y-43=0对称的圆的方程，试这两个圆有何位置关系？它们有几条公切线？

对称圆的方程为(x8)2(y11)225，它与ABC的外接圆相外切，切点是D（5，-7）它们有3条公切线. 问题6：以点E（-3，-12），F(1，-10)为直径的圆与ABC的外接圆有何关系？它们有几条公切线？

以点E（-3，-12），F(1，-10)为直径的圆的方程是(x+1)2(y11)25，它与ABC的外接圆相离，它们共有4条公切线. 在复习了直线与圆的位置关系后，提出问题5问题6，主要是复习本节的另一个知识点：圆与圆的位置关系，这样做本节知识复习可一气呵成，让学生主动形成知识网络，由于直线与圆的位置关系既是本节的重点，又是本节的难点之所在.因而在解决上述6个问题后，不妨在给出以下问题：

问题7：一束光线从点M(-3,4)射出，经x轴反射后，与ABC的外接圆相切，求反射后的光线所在直线的方程. 反射后的光线所在直线方程为x=-3或12x+35y-104=0并利用几何画板在同一个直角坐标系中画出该图形，让学生进一步体会圆中点与圆，直线与圆，圆与圆的位置关系. 本节小结课立足于课本，深挖教材，一线串珠，逐步拓展，以问题为中心，步步推进本章知识，既突出重点又突破难点，既充分体现了教材中例题的典型性，示范性作用，又让例题在变化中起到了一线串珠的作用，让学生既熟悉又有新意，这样设计小结课确实有高效之味！