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第二十二章 二次函数复习课

饶阳县五公镇初级中学 赵俊杰

【学习目标】

1．掌握二次函数的定义及表达式．

2．巩固二次函数的图象和性质．

3．强化二次函数的实际应用．

【学习重点、难点】

二次函数的图象、性质及其运用．

【教学建议】

建议本课分两课时，依据学情采取其中一种方式．方式一：第一课时自学自研并交流展示知识模块一～三；第二课时自学自研并交流展示知识模块四及练习巩固提升．方式二：第一课时进行自学自研，第二课时进行交流展示、巩固提升．

【推荐方式一】

第一课时目标导学(5分钟)；自学自研(20分钟)；交流展示(15分钟)；第二课时目标导学(2分钟)；自学自研(15分钟)；交流展示(15分钟)；巩固提升(8分钟)．

【导学流程】

一、情景导入

感受新知

这节课我们对本章所学知识作一回顾和小结．(板书课题) 二、自学互研

生成新知

【自主探究】

试画本章知识结构框图：

1

实际问题情景二次函数描述的关系二次函数定义2左、右平移|h|个单位长度：y＝a（x－h）（a≠0）二次函数y＝上、下平移|k|个单位长ax（a≠0）度：y＝ax＋k（a≠0）的平移上、下平移|k|个单位长度，22二次函数左、右平移|h|个单位长度：y＝a（x－h）2＋k（a≠0）开口方向：a＞0，开口向上；a＜0，开口向下对称轴：x＝－b2a，a，b同号，对称轴在y轴，b异号，对称轴在y轴右侧二次左侧；a2函数顶点坐标：－b2a，4ac－b4a的图b象及x＜－时，y随x的增大而减小性质a＞02a增x＞－b2a时，y随x的增大而增大减性x＜－ba＜02a时，y随x的增大而增大x＞－b2a时，y随x的增大而减小y＝ax2二次函数＋bx＋c（a≠0）（一般式）

2的解析式y＝a（x－h）＋k（a≠0）（顶点式）y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）（交点式）抛物线与x二次函数与一二者轴交点的横坐标关系就是一元二次方程的根抛物线与x轴交点的情况⇔元二次方程一元二次方程解的情况利用函数解方程：函数值越接近零的点，所对应的横坐标越近似于一元二次方程的解建立二次函数模型，利用二次函数的图象和性质解决实际问题中的最值等问题二次函最大利润问题数与实最大面积问题a＞0，当x＝－b时际问题其他问题2a，2最y最小值＝4ac－b4a值a＜0，当x＝－b2a时，4ac－2y最大值＝b4a2

师生活动：

①明了学情：观察学生复习提纲完成情况．

②差异指导：根据学情进行个别或分类指导．

③生生互助：小组交流、研讨．

三、典例剖析

运用新知

(一)二次函数的图象和性质

【自主探究】

典例1：写出抛物线y＝－x2－2x的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时，y的值最小(大)? －24ac－b24×（－1）×0－（－2）2b解：∵－2a＝－＝－1，4a＝＝1. 2×（－1）4×（－1）∴抛物线y＝－x2－2x的开口向下，对称轴是直线x＝－1，顶点是(－1，1)．

当x＝－1时，y最大值＝1.

【合作探究】

典例2：已知二次函数y＝x2－4x＋3. (1)用配方法求其函数图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况；

(2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．

解：(1)y＝x2－4x＋3＝x2－4x＋4－1＝(x－2)2－1. ∴其函数图象的顶点C的坐标为(2，－1)，

∴当x≤2时，y随x的增大而减小；当x>2时，y随x的增大而增大．

(2)令y＝0，则x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴当点A在点B左侧时，A(1，0)，B(3，0)．

当点A在点B右侧时，A(3，0)，B(1，0)．

∴AB＝|1－3|＝2. 11过点C作CD⊥x轴于D，则△ABC的面积＝2AB·CD＝2×2×1＝1.

(二)二次函数的图象与字母系数的关系

【自主探究】

典例3：如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，经过点(－1，2)和(1，0)，且与y轴相交于负半轴．

3

(1)给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a＋b＋c＝0.其中正确结论的序号是①④．

(2)给出四个结论：①abc<0；②2a＋b>0；③a＋c＝1；④a>1.其中正确结论的序号是②③④．

(三)用待定系数法求二次函数解析式

【合作探究】

典例4：已知抛物线y＝x2＋(b－1)x＋c经过点P(－1，－2b)．

(1)求b＋c的值；

(2)若b＝3，求这条抛物线的顶点坐标；

(3)若b>3，过点P作直线PA⊥y轴，交y轴于点A，交抛物线于另一点B，且BP＝2PA.求这条抛物线对应的二次函数关系式．

解：(1)∵抛物线过点P(－1，－2b)，

∴1－(b－1)＋c＝－2b，∴b＋c＝－2. (2)由(1)中的关系式可知，若b＝3，则c＝－5.

∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－5，即y＝(x＋1)2－6，其顶点坐标为(－1，－6)．

(3)根据题意画出抛物线的示意图如图所示：

∵PB＝2PA，点P(－1，－2b)，

∴点B的坐标为(－3，－2b)．

∴9－3(b－1)＋c＝－2b，

即－b＋c＝－12. b＋c＝－2，b＝5，由解得

c＝－7.－b＋c＝－12，∴y＝x2＋4x－7.

(四)二次函数的实际应用

【合作探究】

典例5：某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．

(1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式．

(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式．

(3)每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

解：(1)设每箱售价为x元，根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240. (2)因为该批发商平均每天的销售利润等于平均每天销售量×每箱销售利润，所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9600. (3)由w＝－3x2＋360x－9600，得a＝－3<0，所以抛物线开口向下．

4

b当x＝－2a＝60时，w有最大值，又x<60时，w随x的增大而增大．

所以当x＝55元时，w的最大值为1125元．

师生活动：

①明了学情：关注学生题目的完成情况．

②差异指导：根据学情进行指导．

③生生互助：小组内相互交流、研讨．

四、课堂小结

回顾新知

(1)总结本节课的收获。

(2)再次回顾全章知识要点。

五、检测反馈

落实新知

1．已知二次函数y＝－x2＋4x＋5，则当x＝2时，其最大值为9．

2．已知二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标(－1，－3.2)及部分图象(如图)，由图象可知2关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝－3.3．

3．设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为(

A

) A．y1＞y2＞y3

B．y1＞y3＞y2

C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2

六、课后作业

巩固新知

(见学生用书)

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