12.2 证明教学实录

12.2 证明

一.设计思路

对于三角形的内角和定理，我们以前已通过量、折、拼的方法进行了合情推理并得出了相关的推论.但以前的方法总是让人有些疑惑的，我们有什么方法来消除这种疑惑呢？本节课我们主要目的是通过添加不同的辅助线的演绎推理的方法，把三角形的3个内角转化为1个平角或把三角形的3个内角转化为两平行线的同旁内角证明三角形内角和定理及推论，使学生从中体会到不同的添加辅助线方法的实质是相同的——把一个我们不会解的新问题，转化为我们会解的问题，认识到添加辅助线是解决数学问题的一种常用方法. 二.目标设计

1.回顾三角形的内角和定理及推论；

2.学会用逻辑推理的方法对三角形的内角和定理及推论重新进行研究证明；

3.体会到添加辅助线可以帮助我们把不会解的新问题转化为会解的问题，是常用的数学方法. 三.活动设计

活动内容

问题一：

1.三角形3个内角的和是多少？

2.你是如何知道的？

3.你认为这个结论正确吗？你有过怀疑吗？为什么？

说明：设计问题情境，实质是借助拼图实践，为定理的证明铺垫了基本思路——把3个角“搬”到一起，利用平角的定义来证明，同时使添加辅助线有必要、有意义，由于学生经历了“直观判断不可靠”、“直观无法做出确定的判断”，所以实际教学中，学生对三角形3个内角和结论的正确性需要确认，也就是证明. 问题二：

1.如何证明三角形内角和等于180°？

2.你有没有办法在平面图形中把三角形的三个内角“搬”到一起？

分析：添加辅助线，实质是构造新图形，由于学生没有接触过辅助线，实际教学中学生可能采用的方法有：

(1)拼图中把一个角移动位置的活动，通过画一个角等于这个角来实现. (2)从已有的对图形的平移、旋转的认识出发，通过角的平移、旋转把三角形的3个内角“搬”到一起. 3.你能想办法把∠A、∠B“搬”到相应的位置上吗？

已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证明：如图，作BC的延长线CD，过点C作CE∥AB,

∵CE∥AB, ∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等), ∴∠2=∠A(两直线平行，内错角相等). ∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定义),

1 师生互动思考与安排

∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).

A

E

21

BDC

通过证明我们现在对三角形内角和等于180°不再产生怀疑了，于是得到：

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°. 说明：证明后可以让让学生知道三角形定理的可靠性与完备性，只有通过证明过的理论才是完美的，前面学过的很多正确的命题都可以通过用证明的方法来说明它们的正确性.如“等边对等角”、“平行四边形的对边相等”等. 4. 画∠ACE=∠A是否也可以证明: ∠A+∠B+∠ACB=180°？

A

E

B

C

5. 你还有不同的证明方法吗？与同学交流. 例如：过点A作EF∥BC.

AFE

B

C

思考：如图，∠α是△ABC的一个外角，∠α与△ABC的内角有怎样的大小关系？

由三角形内角和定理，可以知道：

A∠α=∠A+∠B, 进而∠α＞∠A，

∠α＞∠B. BC三角形内角和定理的推论：

1. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

2. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

说明：这里用多种方法来证明三角形内角和定理，让学生更能体会到证明这种逻辑推理思维.同时各种探索活动使学生能形式化的表达，发展学生合乎逻辑的思考、步步有据地、有条理地用自已的语言表达并鼓励学生主动地表达与交

2

流，引导学生不仅从已知条件向结论探索，而且从结论向已知条件探索或从已知条件和结论两个方面互相逼近. 四.例题设计

例：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，求证：梯形

ABCD是等腰梯形. 分析：为了将∠B、∠C“搬”到

AD一个三角形，可过点D作DE∥AB交

2BC于E，从而∠1=∠B，又因∠B= 1CB∠C，所以∠1=∠C，故DE=DC，又由

E于AD∥BC，易知四边形ABED是平行

四边形，从而DE=AB，因此AB=CD，根据“两腰相等的梯形是等腰梯形”.

1. 请同学们根据分析，完成证明过程并与同学交流. 2. 你还有不同的证明方法吗？

说明：一般来说，梯形问题都可转化为三角形和平行四边形问题，为此平移一腰或延长梯形的两腰或分别过上底的两个顶点，向梯形的下底作高.让学生体会数学中转化思想，即把不熟悉的转化为熟悉的. 五.拓展练习

1.如图1，AB∥CD，

（1）∠A、∠P、∠C三角之间存在怎样的关系？用两种方法证明你的结论. （2）如果将P点向右移，如图2， AB∥CD，此时∠A、∠P、∠C三角之间存在怎样的关系？并证明你的结论. AABB

PP

DCDC

图2图1

2.如图，△ABC中，AB=AC，

A求证∠B=∠C.

C720°. 3.求证：六边形的内角和为B

3