8.1 同底数幂的乘法教学设计第二课时

《8.1幂的运算（1）》教学设计

一、内容分析

幂的运算是苏科版初中数学教材七年级下册第二章的内容。它既是整式乘除的基础，又可以看作是一种独立的运算，其知识基础是“幂的意义”、“有理数的乘方”、“有理数的乘法运算”等。这些基础知识在七年级上册已经学习过，从数到式，从特殊到一般、从具体到抽象的数学活动贯穿始终，为后续进一步深入学习整式运算提供了知识技能和思想方法的基础，积累初步探究公式、法则的数学活动经验。

二、教学问题诊断分析

整体引领，精准定位，高效学习。对于本章的教学，过去一成不变的做法是按照教材上的顺序将同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法分为四个课时开展教学，然后通过大量的习题训练来巩固。这是否普适所有学校的学情？是否更有利于学生对数学本质的理解？值得怀疑。因此，基于对学情的把握以及对数学知识内在逻辑连贯性的考虑，不妨把“幂的运算”进行整合，开展一个单元的起始课教学。

三、教学目标

1.演算、归纳并证明幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方），在此过程中感受从特殊到一般的数学思想方法；

2.运用幂的运算性质进行简单的运算，学会步步有据，表达运算背后的算理。

四、教学重点、教学难点

1.重点：幂的运算性质的探究、证明与简单应用；

2.难点：幂的三种运算性质的证明和辨别应用。

五、教学过程

（一）情境导入

（课前展示与本课高度相关的两位数学家的名言：

没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现。——牛

顿

数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深。数学是科学之王。——高

斯）

问题1：同学们，数学研究的两大内容是什么？（代数和几何）

问题2：前一章图形研究告一段落，今天我们再次进入代数领域的学习。代数的学习离不开最基本的内容，那就是？（板书：运算）

问题3：35是什么运算？它的意义及各部分的名称是什么？3n（n为正整数）呢？an（n为正整数）呢？（复习）

问题4：你能设计出一些较简单的幂的运算的算式吗？独立思考再小组交流。（交流展示，揭示课题）

（设计意图：建构“幂的运算”，来自内部，简单纯粹。从数学两大领域引出运算与幂，体现了教师的整体教学观。从举例到猜想、数字到字母，从学生的已有经验出发，通过回顾乘方运算，放手设计算式，自然整理、分类命名出“同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法”等研究重点。自主建构完整的内容框架，从而提示课题。）

（二）性质探究

问题5：你认为上述哪个算式的运算有一定的规律呢？想一想，写一写，猜一猜，说一说。

追问1：你的猜想是什么？能不能用字母表示？请尝试验证。

举例：……

猜想：am·an=am+n（教师引导补充：m、n为正整数）

m个

n个

验证：am·an=（a·a·……·a）·（a·a·……·a）(乘方的意义）

(m+n)个

=a·a·……·a

（乘法的运算律）

=am+n

(乘方的意义)

性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

（学生展台展示，生生、师生交流点评并完善板书，集体齐读法则）

问题6：在探究同底数幂的乘法法则的过程中，我们经历了怎样的过程？其中蕴含了怎样的数学思想方法？（举例——猜想——验证，从特殊到一般）

追问2：（拓展延伸）计算：am·an·ak（m、n、k都是正整数）；

问题7：你能用类似的方法来探究另外几个幂的运算的规律吗？先独立研究，再小组交流，最后小组代表进行展示。

举例：……

猜想：(am)n=amn（教师引导补充：m、n为正整数）n个

验证：(am)n=am·am·am·……am

(乘方的意义) n个

=am+m+m+……+m

(同底数幂的乘法法则)

=amn

(乘法的定义）

性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

（学生展台展示，生生、师生交流点评并完善板书，集体齐读法则）

举例：……

猜想：(ab)n=anbn

（教师引导补充：n为正整数）

n个

验证：(ab)n=(ab)·(ab)·(ab)·(ab)·(ab)

(乘方的意义) n个

n个

=(a·a·a·a·a)·(b·b·b·b·b)

(乘法的运算律)

=anbn

(乘方的意义)

性质：积的乘方，等于每个因式的乘方的积。

（学生展台展示，生生、师生交流点评并完善板书，集体齐读法则）

追问3：（拓展延伸）计算：[(am)n]k（m、n、k都是正整数）；

追问4：（拓展延伸）计算：(abc)n（n是正整数）。

（设计意图：理解“幂的运算”，拓广练习，深化“幂的运算”。自主建构完整的内容框架后，再逐一探究、展示，趁热打铁。作为单元教学中的第1课时，将数学知识进行统筹重组和优化，系统思维，这正是基于整体教学的需要。前后一致，逻辑连贯。以乘方的意义贯穿始终，埋下整章知识的逻辑主线。力求改变规则教学中只注重掌握结果再熟练运算的做法，更多关注了规则的发生、发展以及思想方法的渗透，关注数学语言的转化，步步有据，追求高效。侧重发现问题和分析问题。特殊到一般、分类、类比转化等多种思想方法的渗透旨在无形中提升学生的数学核心素养。）

（三）练习反馈

问题8：计算：（1）x3·x2；

（2）(3m)2；

（3）(a3)4；

（4）m·m2·m3；

（5）(a＋b)(a＋b)3(a＋b)5；

（6）(－5)2(－5)3(－5)；

（7）(mnp)2；

（8）(a2bc)3。

（设计意图：简单应用，回归性质，明白算理。三点要求，一要能准确分辨运算的类型（是什么？），二要能说出具体运算的过程（怎么算？），更要明白其中的道理（为什么？）

（四）小结思考

问题9：本节课你有什么收获？你觉得后面我们还会研究什么内容？对于同底数幂的除法……是不是也有规律和法则呢？……如何研究？……

同底数幂的除法、性质法则的逆用以及其它复杂运算，都是我们后续学习的内容，万变不离不宗，只要同学们勇于探索，积极思考，定能领悟数学真谛。请再次回看课前两位伟大的数

学家名言：

没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现。——牛

顿

数学中的一些美丽定理具有这样的特性：它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深。数学是科学之王。——高

斯）

相信同学们有更深的体会。

（设计意图：升华“幂的运算”，从知识、思想、方法等角度回顾并延伸所学，在课的结尾重拾课前的数学名言，并赋予同本节课相关的解释，升华了数学思想，有层次、有深度，首尾呼应的形式，体现了课堂的完整性。）

（七）板书设计

幂的运算

同底数幂乘法

1。知识内容：正整数幂的运算性质：

4。学生成果展示：

……

举例：

幂的乘方

……

猜想：

验证：

积的乘方

……

法则：

同底数幂除法

2。活动经验：观察——猜想——验证

……

3。思想方法：特殊——一般，类比，转化

（设计意图：板书设计既有数学语言，也有文字语言；既有数学知识，也有数学思想，更有数学活动经验的体现，让学生“见木”又“见林”。化零为整，事半功倍，整体建构，便得“捷径”。）