根的判别式公开课教案

课时5 一元二次方程的解法（5）

根的判别式

江阴市周庄中学

赵慧

教学目标：

1．了解根的判别式的概念，能用判别式判别根的情况．

2．通过了解知识之间的内在联系，培养学生的探索精神，渗透转化和分类的思想方法．

教学重点：会用判别式判定根的情况

教学方法：发现法，讲授法

教学过程：

（一）问题情景，导入新课

请用公式法解下列方程：

①x23x20 ②x22x10 ③x230

学生解完方程后，师生总结这三个方程的根的特点，有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根.进面提出问题：方程的根的情况与什么有关系？(引入新课) （二）新课

1、根的判别式

由对于上述三个引例的研究，学生会发现一元二次方程的根的情况与“b24ac”有关系，引导学生分析思考，一元二次方程根的情况与“b24ac”有关系的深层原因，及有什么样的关系？

原因剖析：

b2b24ac一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将其变形为：(x) ∵2a4a22a0,4a20

所以（1）当b-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．

（2）当b-4ac=0时，方程有两个相等的实数根．

（3）当b-4ac＜0时，方程没有实数根．

教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？

定义：把b-4ac叫做一元二次方程ax＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示．

一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）．

当△＞0时，有两个不相等的实数根；

当△＝0时，有两个相等的实数根；

当△＜0时，没有实数根．

反之亦然．

2、例题讲解：

例1：不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）2x＋3x-4＝0；（2）16y＋9＝24y；（3）5（x＋1）-7x＝0．

强调两点：（1）只要能判别△值的符号就行，具体数值不必计算出．

（2）判别根的情况，不必求出方程的根．

例2：不解方程，判别下列方程的根的情况：

x222kxk20

222222222此题是含有字母系数的一元二次方程．注意字母的取值范围，从而确定b-4ac的取值．

3、巩固练习

2

练习：不解方程，判别下列方程根的情况．

（1）5x2x30;（2）x22323x;（3）3x6x70；

2（4）x222kx2k20

（5）（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．（6）a2x2-ax-1＝0（a≠0）

拓展提高

例3：已知关于x的方程2x24k1x2k210，k取什么值时，

（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程无实数根

例4：求证：不论m为何值，关于x的方程x2mx1m10总有两个不相等的实数根。

2

例5.已知关于x的一元二次方程k2x22k1x10有实数根，求k的取值范围.

练习：

练习：1.m为何值时，方程2mx2+（8m+1）x= - 8m （1）有两个不相等的实数根；

（2）有相等实数根，并求出此时方程的根；

（3）无实数根；

（4）有实数根

2.m取何值时，关于x的方程mx2－3mx+m+5=0有两个相等的实数根？

23.

若关于x的方程kx－4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是：_________________ 思考题：（1）已知a，b，c分别是ΔABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c（x2+m）+b（x2-m）-2max=0有两个相等的实数根，求：ΔABC的形状。

（2）:已知a、b、c是三角形的三边长，求证：方程：b2x2+（b2+c2-a2）x+c2=0没有实数根。

必须说明b≠0，然后才可以用Δ<0来进行判断。

题目中隐藏了条件：ΔABC三边的关系——两边之和大小第三边，两边之差小于第三边。

6、小结

1、判别式的意义及一元二次方程根的情况．

①定义：把b-4ac叫做一元二次方程ax＋bx＋c＝0的根的判别式．用“△”表示

②一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）．

当△＞0时，有两个不相等的实数根；

当△＝0时，有两个相等的实数根；

当△＜0时，没有实数根．反之亦然．

2、通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法．

7、作业：

8、教后感：

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