1.1 一元二次方程教案公开课一等奖

《一元二次方程》教学设计

一、内容和内容解析

（一）内容

一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式．

（二）内容解析

一元二次方程是解决诸多实际问题的需要，是二次函数的基础．

针对一系列实际问题，建立方程，引导学生观察这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念及一般形式．在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，得出一元二次方程的概念.一般形式ax2+bx+c=0也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果；a≠0的条件是确保满足

“二次”的要求．

二、目标和目标解析

（一）教学目标

1.通过探索实际问题中的数量关系及其变化规律，经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的有效模型

2.通过观察归纳一元二次方程的概念。

（二）目标解析

1．学生能举例说明一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性；

2．将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念．学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的字母系数方程为一元二次方程的条件．

三、教学问题诊断分析

一元二次方程是学生学习的第四个方程知识，首先在初一学习了一元一次方程，接着扩展“元”得到二元一次、三元一次方程，完成了二元一次方程组的学习，初二分式的教学，使得对实际问题的刻画从整式推广到有理式，分式方程得以出现，到一元二次方程第一次实现

“次”的提升．学生必然存在着疑问，为什么有些背景列得的方程是二次的呢？教学中要直面学生的疑问，显化学生的疑问，启发学生自己解释疑问，才能避免“灌输”，体现知识存在的必要性，增强学好的信念．

培养建模思想，进一步提升数学符号语言的应用能力，

让学生自己概括出一元二次方程的概念，得出一般形式，对初三学生是必须的，也是适可的．

本课的教学重点应该放在形成一元二次方程概念的过程上，在概念的理解上要下功夫．

本课的教学难点是一元二次方程的概念．

四、教学过程设计

（一）创设情境，引入新知

教师展示教科书本章的章前图，请同学们阅读章前问题，并回答：

问题1．这个方程属于我们学过的某一类方程吗？

师生活动:学生整理已经学过的方程类型，复习方程的概念，元与次的概念，观察新方程，分析此方程的元与次，尝试为新方程命名．

【设计意图】使学生认识到一元二次方程是刻画某些实际问题的模型，体会学习的必要性，在学生已有的知识的体系中合理的构建一元二次方程这一新知识．

问题2．这样的方程在其他实际问题中是否还存在呢？你能再想出一个例子吗？

师生活动:学生思考二次项产生的原因，从熟悉的实际背景中，很有可能从矩形的面积出发，设计情境．

【设计意图】让学生从“接受式”的学习方式中走出来，走向对一元二次方程产生的根源的探求，在编制情境的过程中，他们将加深对一元二次方程概念的理解．部分学生能够独立解决问题，自己编制情境并列出方程，部分学生可以根据同学给出的情境去列方程，或者阅读课本上的实际问题．

（二）拓宽情境，概括概念

你会用方程描述下列问题中的数量关系吗？

问题1

如图21．1-1，动1.学校知新馆前面有一块正方形的花圃，其面积等于600m²，设这个正方形的边长是xm,则可列方程

____________．

问题2

为了美化我们的校园，学校要在两幢教学楼之间，再开辟一块面积为900平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，设绿地的宽是x米，则可列方程

__________

问题3．为了丰富我们的读书生活，学校图书馆的藏书计划在两年内从5万册增加到7.2万册，设图书馆的藏书平均每年的增长率是x，则可列方程

__________ 问题4．工人师傅砌墙时将一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，设梯子的底端滑动xm，则可列方程

这些方程是几元几次方程？

师生活动:学生将实际问题中的语言转化成数学的符号语言，体会运算关系，寻找等量关系，学习建模．将列得的方程化简整理，判断出方程的次数．

【设计意图】在建模的过程中不仅加强学生的数学思维能力，而且对二次项产生的根源将更加明晰，加深对一元二次方程的理解．让学生回答方程的元与次，一是让他们体会统一成一般形式的必要性，为概念的形成做铺垫，分解教学的难点；二是让他们明确教学的主线，从被动学习走向主动学习．

问题4．

这些方程是什么方程？

师生活动:观察本课得出的一些方程，思考它们的共性，同学们尝试给出一元二次方程的定义，并且概括出一元二次方程的一般形式．

1．一元二次方程的概念：

等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2（二次）的方程叫做一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式是项系数；是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

．其中是二次项，a是二次【设计意图】让学生自己给出定义就是对过去所学一元一次方程的定义的类比和对比，概括一般形式是对一元二次方程另一个角度的理解，是对数学符号语言的应用能力的提升．

（三）辨析应用，加深理解

问题5．

请你说出一个一元二次方程，和一个不是一元二次方程的方程．

师生活动:可以由学生举手回答，也可以随机选择学生回答，调动学生广泛的参与．追问学生所举的反例为什么不是一元二次方程？是什么方程？

【设计意图】学生自己举例，应用概念，从正反两个方向强化了对概念的理解，在追问的过程中，帮助学生将已有的方程梳理成比较清晰的知识体系，

开发学生认识的资源，激发学生从不同角度、不同形式去深入理解同一概念，让不同的学生在此过程中获得不同的收获，实现分层教学分层指导的效果．

问题6．

下列方程哪些是一元二次方程? 例1．下列方程哪些是一元二次方程?

（1）x220x

(2)3x25xy6y20

(3)x20

(4)(y1)(y2)1

(5)4x21(2x3)2

师生活动:用概念指导辨析，方程（4）与（5）同学们可能会产生争议，（4）和（5）帮助学生明确一元二次方程必须要先化简成一般形式，并对a≠0条件加深认识．

【设计意图】补足学生所举正反例的缺漏，追问：有二次项的一元方程就是一元二次方程吗？帮助学生进一步巩固概念，深化对一元、二次的认识．

问题7．指出下列方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数．

例2．

将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：

（1）师生活动:

（1）将方程同类项得：系数是，常数项是，其中二次项是；（2）去括号得：

，移项，合并，一次项1，二次项系数是3；一次项是．教师应及时分析可能出现的问题（比如系数的符号问题）．

，过程略．

（2）一元二次方程的一般形式是例3．问题二：如何确定方程中字母系数的取值？

活动：关于x的方程(k－3)x

＋

2x－1＝0, 当

k为何值时，该方程是一元二次方程？

当

k为何值时，该方程是一元一次方程？

变式1：m为何值时，方程（m-1）x

m212+3x+2=0是关于x的一元二次方程？

（m1）x2xm10有一个根为0，

变式2：若关于x的一元二次方程则m的值是（

）

A.1

B.-1

C.1

D.2

【设计意图】通过对含有字母系数的一元二次方程的变式训练，让学生对一元二次方程的概念的理解。

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（四）巩固概念，学以致用

教科书第4页：

练习

【设计意图】巩固性练习，同时检验一元二次方程概念的掌握情况．

（五）归纳小结，反思提高

请学生总结今天这节课所学内容，通过对比之前所学其它方程，谈对一元二次方程概念的认识，反思学习过程中的典型错误．然后教师再从知识体系和学习思路两个方面进行总结：

（六）布置作业：导学案的导评促学部分

五、目标检测设计

1．下列方程哪些是关于x的一元二次方程

（1）；（2）；（3）；（4）．

【设计意图】考查对一元二次方程概念的理解．

2．关于的方程A．

B．

C．的条件．

化为一般形式，并指出二次项系是一元二次方程，则（

）．

D．

【设计意图】考查3．将关于的一元二次方程数．

【设计意图】考查化简方程的能力，及对一元二次方程一般式的掌握情况．