1.1.3 四种命题间的相互关系课堂实录【2】

1.1.3

四种命题间的相互关系

[学习目标]

1.理解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系.3.会利用逆否命题的等价性解决问题.

知识点一

四种命题的概念

(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. (2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题. (3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这两个命题叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题. 知识点二

四种命题的真假性的判断

原命题为真，它的逆命题不一定为真；它的否命题也不一定为真.原命题为真，它的逆否命题一定为真.

题型一

四种命题的概念

例1

写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假. (1)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；

(2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧；

(3)若m≤0或n≤0，则m＋n≤0；

(4)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B. 解

(1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0，假命题. 否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题. 逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0，真命题. (2)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题. 否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题. 逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，真命题. (3)逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0，真命题. 否命题：若m>0且n>0，则m＋n>0，真命题. 逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0，假命题. (4)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题. 否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题. 逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题. 反思与感悟

(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题. (2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论. 跟踪训练1

判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假. (1)若x2＋y2＝0，则x，y全为零；

(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac<0，则该函数图象与x轴有交点. 解

(1)该命题为真命题. 逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题. 否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题. 逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题. (2)该命题为假命题. 逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有交点，则b2－4ac<0，假命题. 否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac≥0，则该函数图象与x轴无交点，假命题. 逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴无交点，则b2－4ac≥0，假命题.

题型二

四种命题的关系

例2

下列命题：

①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；

②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；

③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；

④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题. 其中是真命题的是________. 答案

①②③

解析

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题.所以真命题是①②③. 反思与感悟

要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握. 跟踪训练2

下列命题为真命题的是(

) ①“正三角形都相似”的逆命题；

②“若m>0，则x2＋2x－m＝0有实根”的逆否命题；

③“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题. A.①②③

C.①②

答案

B 解析

①原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，故为假命题.②原命题的逆否命题为“若x2＋2x－m＝0无实根，则m≤0”.∵方程无实根，∴判别式Δ＝4＋4m<0，∴m<－1，即m≤0成立，故为真命题.③原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－2不是有理数”.∵x不是无理数，∴x是有理数.又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数，故为真命题.正确的命题为②③，故选B.

题型三

等价命题的应用

例3

判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a<2”的逆否命题的真假. 解

原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”.

判断真假如下：

B.②③

D.①③

函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，

因为a≥2，所以4a－7>0，即抛物线与x轴有交点，

所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真. 反思与感悟

因为原命题与它的逆否命题的真假性相同，所以我们可以利用这一点，通过证明原命题的逆否命题的真假性来肯定原命题的真假性.这种证明方法叫做逆否证法，它也是一种间接的证明方法. 跟踪训练3

判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假. 解

∵m>0，

∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0. ∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真. 又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真.

化归思想的应用

例4

判断命题“若x2－y2≠0，则x－y，x＋y中至少有一个不等于0”的真假. 分析

原命题的真假性不容易判断，可以找出其逆否命题，若其逆否命题的真假性容易判断，则根据互为逆否的两个命题的真假性之间的关系，就可以解决原命题的真假性问题了. 解

原命题的逆否命题：若x－y，x＋y都等于0，

则x2－y2＝0. 由x－y＝0，x＋y＝0，得x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝0. 因此，原命题的逆否命题是真命题. 所以原命题是真命题. 解后反思

条件与结论都含有否定词的命题在判断其真假时，会有一定的困难，这时最好转化为判断其逆否命题的真假，这种化归的思想是解题的重要思想方法.

根据已知集合求参数范围

例5

已知p：M＝{x|x2－2x－80≤0}，q：N＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m＞0}.如果“若p，则q”为真，且“若q，则p”为假，求实数m的取值范围. 分析

先求不等式的解集，再根据条件建立不等式组求解即可.

解

p：M＝{x|x2－2x－80≤0}＝{x|－8≤x≤10}，

q：N＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m＞0} ＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}. 因为“若p，则q”为真，且“若q，则p”为假，所以MN，

m＞0，所以1－m≤－8，1＋m＞10

m＞0，或1－m＜－8，1＋m≥10，

m＞0，m＞0，即m≥9，或m＞9，m＞9m≥9，

解得m＞9，

即实数m的取值范围是{m|m＞9}. 解后反思

由“若p，则q”为真，“若q，则p”为假，得M⊆N，但NM，故MN，即“1－m与－8”和“1＋m与10”不能同时取等号.事实上，当m＝9时，两个集合相等.

1.命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是(

) A.若a∉A，则b∉B

B.若a∈A，则b∉B

C.若b∈B，则a∉A

D.若b∉B，则a∉A

答案

B 解析

命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，“∈”与“∉”互为否定形式. 2.命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是(

) A.若A∪B＝B，则A∩B＝A

B.若A∩B≠A，则A∪B≠B

C.若A∪B≠B，则A∩B≠A

D.若A∪B≠B，则A∩B＝A

答案

C 解析

注意“A∩B＝A”的否定是“A∩B≠A”.

3.命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是_______，它是______命题(填“真”或“假”). 答案

若平面向量a，b的方向不相同，则a，b不共线

假

4.给出以下命题：

①“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题；

②“正多边形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题. 其中为真命题的是________. 答案

③

解析

①否命题是“若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数”.假命题. ②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”.假命题. ③∵Δ＝1＋4m，m>0时，Δ>0，

∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真. ∴逆否命题为真. 1π5.“若sinα＝，则α＝”的逆否命题是“__________________”，逆否命题是________命题26(填“真”或“假”). π1答案

若α≠，则sinα≠

假

62π解析

逆否命题是“若α≠，

61则sinα≠”是假命题. 2

1.写四种命题时，可以按下列步骤进行：

(1)找出命题的条件p和结论q；

(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；

(3)按照四种命题的结构写出所求命题. 2.每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论. 3.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.