3.1.2 导数的概念特级教师教学实录

《导数的计算》教案

高中数学选修1-1 原阳县第四高级中学

刘小丽

【学习目标】

1.

能根据定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=1x的导数。

2.

能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.

3.

【学法指导】

1.利用导数的定义推导简单函数的导数公式，类推

一般多项式函数的导数公式，体会由特殊到一般的思想.通过定义求导数的过程，培养归纳、探求规律的能力，提高学习兴趣.

2.本节公式是下面几节课的基础，记准公式是学好本章内容的关键.记公式时，要注意观察公式之间的联系，如公式6是公式5的特例，公式8是公式7的特例.公式5与公式7中ln a的位置的不同等.

1.

几个常用函数的导数

原函数

导函数

f(x)=c f ′(x)=

f(x)=x f′(x)=

f(x)=x2 f′(x)=

f(x)=1x

f′(x)=

f(x)=x

f′(x)=

2、基本初等函数的导数公式

原函数

导函数

f(x)=c f′(x)=

f(x)=xα(α∈Q*)

f′(x)=

f(x)=sin x f′(x)=

f(x)=cos x f′(x)=

f(x)=ax f′(x)= (a>0)

f(x)=ex f′

(x)=

f(x)=logax

f′(x)= (a>0且a≠1)

f(x)=ln x f′(x)=

探究点一

几个常用函数的导数问题

1、怎样利用定义求函数y=f(x)的导数?

2、利用定义求下列常用函数的导数：(1)y=c

(2)y=x (3)y=x2 (4)y=1x (5)y=x

3、导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率.物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.(1)函数y =f(x)=c(常数)

的导数的物理意义是什么?

(2)函数y=f(x)=x的导数的物理意义呢?

4、

画出函数y=1x的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.

探究点二

基本初等函数的导数公式

问题1 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题?

问题2 你能发现8个基本初等函数的导数公式之间的联系吗?

下列函数的导数：(1)y=sinπ3;(2)y=5x;(3)y=1x3;(4)y=4x3; (5)y =log3x.

跟踪1

求下列函数的导数：(1)y=x8;(2)y=(12)x;(3)y=xx;(4)y=

判断下列计算是否正确.

求y=cos x在x=π3处的导数，过程如下：y′| = ′=-sin π3=-32.

跟踪2 求函数f(x)=13x在x=1处的导数.

探究点三

导数公式的综合应用

例1、已知直线x-2y-4=0与抛物线

y2=x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧

上求一点P，使△ABP的面积最大.

跟踪3 点P是曲线y=ex上任意一点，求点P到直线y=x

的最小距离.

【达标检测】

1.

给出下列结论：①若y=1x3，则y′=-3x4;②若y=3x，则y′=133x;

③若y=1x2，则y′=-2x-3;④若f(x)=3x，则f′(1)=3.其中正确的个数是

(

)

A.1 B.2 C.3 D.4

2.函数f(x)=x，则f′(3)等于

(

)

A.36 B.0 C.12x D.32

3.设正弦曲线y=sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是

(

)

A.[0，π4]∪[3π4，π) B.[0，π) C.[π4，3π4] D.[0，π4]∪[π2，3π4]

4.曲线y=ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.