1.2.1 充要条件教学设计

1.2.1充要条件（教学设计）

一、教材分析

充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础．这节内容被安排在高二选修2-1第一章“常用逻辑用语”的第二节．有了“四种命题”的知识铺垫，既可以使学生丰富并深化对命题的理解，也便于老师讲透充要条件这一基本数学概念．

二、课时分配:1课时

三、教学目标

1.知识与技能目标：

(1)正确理解充要条件的定义，了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．

(2)正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件. (3)通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假. 2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．

3.情感、态度与价值观目标：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．

四、教学重点与难点

重点：1、正确区分充要条件

2、正确运用“条件”的定义解题

难点：正确区分充要条件．

五、教学过程

（一）复习引入

一种逻辑关系的四种表达形式

: ①“若p则q”为真命题；

②pq；

③p是q的充分条件；

④q是p的必要条件.

【设计意图】

温故知新，对充分条件与必要条件的理解是本节课的基础．

问题：已知： p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数. 请判断： p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？

【设计意图】进一步巩固对充分条件与必要条件的理解，同时引入充要条件的概念. （二）探究新知

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一般地,如果既有pq ，又有qp 就记作p  q. 此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件. 概括地说, 如果p  q,那么p 与 q互为充要条件. 例1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？

(1)p:b＝0, q:函数f(x)＝ax＋bx＋c是偶函数；

(2)p:x ＞ 0,y ＞ 0, q: xy＞ 0；

(3)p: a ＞ b , q: a + c ＞ b + c；

(4)p:x ＞ 5, q: x ＞ 10；

(5)p: a ＞ b , q: a

＞ b

分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．

解：命题（1）和（3）中，pq ，且qp，即p  q，故p 是q的充要条件；

命题（2）中，pq ,但q 

p，故p 不是q的充要条件；

命题（4）中，pq ，但qp，故p 不是q的充要条件； 命题（5）中，pq ，且qp，故p 不是q的充要条件；

类比定义得到：一般地，

若pq ,但q 

p，则称p是q的充分但不必要条件；

若pq，但q 

p，则称p是q的必要但不充分条件；

若pq，且q 

p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

总结：在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：

①若pq ,但q 

p，则p是q的充分但不必要条件；

②若qp，但p 

q，则p是q的必要但不充分条件；

③若pq，且qp，则p是q的充要条件；

④若p 

q，且q 

p，则p是q的既不充分也不必要条件．

（三）练习巩固：P14 练习第 1、2题

说明：要求学生回答p是q的充分但不必要条件、或 p是q的必要但不充分条件、或p是q的充要条件、或p是q的既不充分也不必要条件．

（四）例题分析

例2：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．

分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（pq）和必

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要性（qp）即可．

证明过程略．

【设计意图】(1)充分性证明：条件⇒结论；必要性证明：结论⇒条件．

(2)在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．

例3、已知p:－2≤x≤10，q：1－m＜x＜1＋m(m>0)，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

解：

p：－2≤x≤10.

q：1－m＜x＜1＋m(m>0)．

因为p是q的充分不必要条件．

所以1m2101m

解得m＞9.又m>0

实数m的范围为{m|m>9}．

【设计意图】理解和演练集合的包含关系与充分，必要条件的关系. （五）课堂小结：

1.四种条件的判断：

①若pq ,但q 

p，则p是q的充分但不必要条件；

②若qp，但p 

q，则p是q的必要但不充分条件；

③若pq，且qp，则p是q的充要条件；

④若p 

q，且q 

p，则p是q的既不充分也不必要条件．

2.证明p是q的充要条件，应分两步：①充分性：p推出q；②必要性：q推出p.

【设计意图】引导学生学习上要善于总结．

（六）作业布置：P1４：习题1.2A组第1(3)(2),2(3),3题

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