2.4.2 抛物线的几何性质国家获奖教案

2．4

抛物线

2.4.1

抛物线及其标准方程

[学习目标] 1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．

2．会求简单的抛物线的方程．

重点：抛物线的定义

难点: 抛物线的标准方程的推导和理解

[探究一] 1．抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

2．抛物线标准方程的几种形式

图形

开口及焦点位置

标准方程

焦点坐标

准线方程

右，x轴正半轴

左，x轴负半轴

上，y轴正半轴

下，y轴负半轴

y2＝2px(p>0)

p(2，0)

px＝－2

y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0)

x2＝－2py (p>0)

p(－2，0) px＝2

p(0，2) py＝－2

p(0，－2) py＝2

要点一

求抛物线的标准方程

例1

分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：

(1)焦点为(－2，0)；

(2)准线为y＝－1；

(3)过点A(2，3)；

5(4)焦点到准线的距离为2. p解

(1)由于焦点在x轴的负半轴上，且2＝2，

∴p＝4，

∴抛物线标准方程为y2＝－8x.

p(2)∵焦点在y轴正半轴上，且2＝1，

∴p＝2，

∴抛物线标准方程为x2＝4y.

(3)由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，

将点A(2，3)的坐标代入，得32＝m·2或22＝n·3，

94∴m＝2或n＝3.

94∴所求抛物线方程为y2＝2x或x2＝3y.

55(4)由焦点到准线的距离为2，可知p＝2.

∴所求抛物线方程为

y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.

规律方法

求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可．若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0)．

跟踪演练1

分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．

(1)过点(3，－4)；

(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．

解

(1)法一

∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0)．

把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，

得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，

169即2p＝3，2p1＝4.

169∴所求抛物线的标准方程为y2＝3x或x2＝－4y.

法二

∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的方程可设为y2＝ax(a≠0)或x2＝by(b≠0)．

169把点(3，－4)分别代入，可得a＝3，b＝－4.

169∴所求抛物线的标准方程为y2＝3x或x2＝－4y.

(2)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.

∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15，0)．

∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.

要点二

抛物线定义的应用

例2

如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标．

解

如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|PA|＋|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|＋d的最小值的问题．

将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6.

∵6>2，∴A在抛物线内部．

1设抛物线上点P到准线l：x＝－2的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.77由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为2.即|PA|＋|PF|的最小值为2，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.

∴点P坐标为(2，2)．

规律方法

抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．

跟踪演练2

已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(

) 179A.2

B．2

C.5

D.2

答案

A

解析

如图，由抛物线定义知

|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PF|，

则所求距离之和的最小值转化为求|PA|＋|PF|的最小值，

则当A、P、F三点共线时，|PA|＋|PF|取得最小值．

1又A(0，2)，F(2，0)，

∴(|PA|＋|PF|)min＝|AF|

＝

117（0－2）2＋（2－0）2＝2.

要点三

抛物线的实际应用

例3

喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？

解

如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－

2py(p>0)，

因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p·(－5)，因此2p＝5，

所以抛物线的方程为x2＝－5y，

点A(－4，y0)在抛物线上，

16所以16＝－5y0，即y0＝－5，

16所以OA的长为5－5＝1.8(m)．

所以管柱OA的长为1.8 m.

规律方法

在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．

跟踪演练3

某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货的木船露在水面上的部分为0.75 m，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？

解

以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系．(如图)

设抛物线的方程是x2＝－2py(p>0)，

由题意知A(4，－5)在抛物线上，

8故：16＝－2p×(－5)⇒p＝5，

16则抛物线的方程是x2＝－5y(－4≤x≤4)，

设水面上涨，木船面两侧与抛物线形拱桥接触于B、B′时，木船开始不能通航．

设B(2，y′)，

1655∴22＝－5y′⇒y′＝－4.∴4＋0.75＝2.

故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2 m时，木船开始不能通航．