2.4.1 抛物线的标准方程板书设计及意图

2.4.1

抛物线的标准方程

教学目标：

1．

掌握抛物线的定义和标准方程及其推导过程，理解抛物线中的基本量；

2．

掌握求抛物线的标准方程的基本方法；

3．能够熟练画出抛物线的草图，进一步提高学生“应用数学”的水平．

重点难点：

能根据已知条件求抛物线的标准方程．

教学方法：

讲授法、讨论法．

教学过程：

一、复习引入

1．回顾椭圆和双曲线的定义．

2．生活中抛物线的引例．

3．把一根直尺固定在图板上直线l位置，把一块三角板的一条直角边紧靠着直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的顶点A，取绳长等于点A到直角边顶点C的长（即点A到直线l的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F，

用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线．

二、讲解新课

1．抛物线定义：

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．

注: （1）定点F不在这条定直线l上；

（2）定点F在这条定直线l上，则点的轨迹是什么？

2．推导抛物线的标准方程：

H M(x，y)

y K O F x

如图所示，建立直角坐标系，设KFp（p0）, pp那么焦点F的坐标为(,0)，准线l的方程为x，

22设抛物线上的点M(x,y)，则有

pp(x)2y2|x|．

22化简方程得

y22px 方程y22pxp0．

p0叫做抛物线的标准方程．

焦点

准线

标准方程

3．抛物线的标准方程：

图形

l y

O F x

F y l x O

F O l y

x y

l

O

F x

相同点：

（1）抛物线都过原点；

（2）对称轴为坐标轴；

（3）准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称；它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的不同点：

12pp．

，即442

（1）图形关于x轴对称时，x为一次项，y为二次项，方程右端为2px、左端为y2；图形关于y轴对称时，x为二次项，y为一次项，方程右端为2py，左端为x2．

（2）开口方向在x轴（或轴）正向时，焦点在x轴（或y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在x轴（或y轴）负向时，焦点在x轴（或y轴）负半轴

时，方程右端取负号．

三、讲解范例

例1

已知抛物线标准方程，求它的焦点坐标和准线方程．

（1） y220x；

（2）y6x2

； （3）

x22axa0； （4）ymx2m0．

例2

求满足下列条件的抛物线的标准方程：

（1）焦点坐标是F（0，－3）

（2）经过点A（－3，2）

四、课堂练习

1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程．

（1）y2＝8x

1（2）x2＝4y （3）2y2＋3x＝0

（4）yx2

62．根据下列条件写出抛物线的标准方程．

（1）焦点是F（－2，0）．

（2）准线方程是y1．:学科网ZXXK]

3（3）焦点到准线的距离是4，焦点在y轴上．

（4）经过点A（6，－2）

3．抛物线x2＝4y上的点p到焦点的距离是10，求p点坐标．

点评：练习时注意，

（1）由焦点位置或准线方程正确判断抛物线标准方程的类型；

（2）p表示焦点到准线的距离，故p＞0； （3）根据图形判断解有几种可能．

五、小结

抛物线的定义、焦点、准线及其方程的概念．

六、课后作业