小结教学实录与评析

湖南省宁远县第一中学学校教案

学科

课题

数学

主备人

李延根

时间

立体几何中的向量方法（一）——空间几何与平行关系

知识与技能：

1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题；

2.能用方向向量、法向量处理线线、线面、面面间的平行关系。

教学目标

过程与方法：

运用数形结合的方法，初步体会利用空间向量解决立体几何问题的便捷性。

情感态度价值观：

培养学生的空间观念和系统学习概念的意识。

重点：求直线的方向向量，平面的法向量

教学重难点

难点：用方向向量，法向量处理线线、线面、面面间的平行关系

教学方法

启发、讲授

教学手段

PPT 教师活动

学生活动

设计意图

一、导入：

回顾之前所前面，我们主要是利用向量的运算解决了立体几何中关于直线的问

学，为本节课题，如：两直线垂直问题；两直线的夹角问题；特殊线段的长的问

的内容进铺题等等……若再加入平面，会出现更多的的问题，如：线面、面面

垫。 的位置关系问题；线面的夹角问题；二面角的问题等等……而且都

是立体几何中的重要问题，这些问题用向量的知识怎样来解决呢？

直线可由其方向向量确定并由其来解决相关的问题，平面又由怎样

的向量来确定呢？

二、自主探究：

请同学们先自己阅读课本P102-P104的内容，并思考以下问题：

1、什么是直线的方向向量？

2、什么是平面的法向量？

3、线线平行、线面平行、面面平行怎样用向量表示？

三、预习检测：

（一）基础知识填空，课件展示，提问

1、直线的方向向量

学生阅读课本，圈画、记忆。

学生通过自学，掌握本节基础知识。

直线的方向向量是指和这条直线____________或________的向量，一条

直线的方向向量有___________个．

2、平面的法向量

1、填空、填检测学生基表格

础知识掌握情况。

培养学生对知识的运用能力

直线l，取直线l的方向向量a，则a叫做平面的___________．

2、展示结3、填表格

线线平行

线面设直线l,m的方向向量分别为a(x1,y1,z1)，果

b(x2,y2,z2)，则l//m⇔____________. 设直线l的方向向量为a(x1,y1,z1)，平面的设,的法向量分别为u(x1,y1,z1)，平行

法向量为u(x2,y2,z2)，则l//⇔_________. 面面平行

（二）小题检测，课件展示

1．设直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，若ab0，则(

) A．l//

B．l C．l D．l或l//

v(x2,y2,z2)，则//⇔____________.

2．设平面的法向量为(1,2，－2)，平面的法向量为 (－2，－4，

k)，若//，则k＝(

) A．2 B．－4 C．4 D．－2 3．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1//l2，则x＝_______，y＝________. 四、典例讲解：

题型一：根据直线的方向向量和平面的法向量判断线线、线面、面面位

置关系

解题、板演

(1)设a,b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系：

b(2,3,1)

①a(4,6,-2),b(0,1,0)

②a(5,0,2),,b(4,2,8)

③a(-2,-1,-1)（2）设u,v分别是不同的平面,的法向量，根据下列条件判断,的位置关系：

①u(1,1,2),v(3,2,0.5)

②u(3,0,0),v(2,0,0)

③u(4,2,3),v(1,4,2)

(3)设u是平面的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断与l的位置关系：



①u(2,2,1),a(6,8,4)

②u(2,3,0),a(8,12,0)

③u(1,2,5),a(2,4,0)

方法总结：

利用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系是直线的方向向量与平面的法向量的基本应用，解决此类问题时需注意以下几点：

(1)能熟练的判断两向量的共线与垂直；

(2)搞清直线的方向向量，平面的法向量和直线、平面位置关系之间的内在联系；

(3)将向量问题转化为几何问题时的等价性．

题型二：求平面的法向量

已知平面经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，试求平面的一个法向量．

方法总结：



题型三：利用空间向量证明平行

已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：

(1)FC1∥平面ADE；

(2)平面ADE∥平面B1C1F. 方法总结：

利用向量法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现，一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；二是通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．

1、如何认识直线的方向向量？

空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个方向确定．在直线l上取ABa，a可以作为l的方向向量，借助点A和a即可确定直线l的位置，并能具体表示出直线l上的任意一点．

2、如何理解平面的法向量？

(1)平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量．

(2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．

3、如何认识直线的方向向量和平面的法向量的作用？

(1)可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系．

(2)可以利用它们表示直线与平面所成的线面角．

(3)可以解决有关线段的长度或点、线、面之间的距离问题．

课堂小结

当堂检测

教后反思

《立体设计》P54变式1，变式2，变式3