二、圆锥曲线的离心率与统一方程名师教学设计1

《圆锥曲线离心率的求法》教学设计

赵明

一、教学内容的分析

1．教材的地位和作用 首先，从离心率本身来说，学生需要掌握椭圆和双曲线的离心率的求法及它们各自的取值范围，能够通过几何图像量化a、c关系，能够应用几何知识解决问题。

其次，从圆锥曲线这一章来说，离心率在是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，是连接椭圆、双曲线、抛物线统一化的标准，是理解圆锥曲线第二定义的重要知识。

第三，从高考角度来说，在每年高考中离心率经常渗透在各类题型中，具有很强的可考性。其中离心率的取值范围综合性强，应用图像解决问题是常用方法。

2．教学的重点和难点

对于圆锥曲线的离心率,学生的认知困难主要在两个方面: 首先，解析几何本身的知识点学生就弄不清楚，再加上做题时需要学生联系圆锥曲线的其他性质，导致很多学生无从下手。

其次，离心率的考察很多时候是和其他知识点交汇考察，例如向量、不等式等，难度较大。

根据以上的分析和教学大纲对离心率的教学要求，本节课的重点和难点为：

重点：应用几何图像解决椭圆和双曲线离心率；

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难点：离心率取值范围的确定。

二、学情分析

1、知识储备

本节课是针对高三学生二轮复习的一个小专题，在这之前，学生对离心率的相关计算和求取值范围的方法已经有所认识。

2、认知能力

高三学生已经联系过大量的综合题，对离心率的考法已经比较熟悉，只需归纳总结一下常用方法。

3、心理基础

高三学生即将进入高考，心理压力较大，因此，在讲解题目时不应太难，让学生收获愉悦，获得信心。

三、教学目标的确定

根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，我从三个方面确定了以下教学目标： 1.强化椭圆、双曲线的离心率求法及取值范围；

2.利用图像解决圆锥曲线离心率的相关问题；

3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯． 四、教学方法的选择

1．教学方法

根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，主要采取教师导向讲解教学，学生小组合作学习的教学方法。

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2．教学手段

教学中使用交互式电子白板辅助教学和实物投影仪。

目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生加深对问题的理解和认识。

3、教学策略

又由于学生层次的差异，在教学设计上，遵循“低起点，多层次，高要求”的基本思路。在教学过程中，让学生充分展示学习成果，从而找到学生现阶段问题所在，当面引导。

五、教学过程的设计

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为三个阶段：复习旧知、讲解例题、归纳小结创。具体过程如下：

（一）复习基础知识

x2y21、椭圆221(ab0)的离心率e ，其中c2 ，abe . x2y22、双曲线221(a0,b0)的离心率e ，其中c2 ，abe . (设计意图：通过简单的知识点回顾，引起学生的思考，让学生知道本节课的主要内容，承上启下.) (二)典型例题讲解

类型一 求离心率的值

1、利用已知条件先求出a,c的值，再利用ec求离心率

a例1 已知椭圆x22y24，求椭圆离心率的值.

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x2y21

解析：将椭圆化为标准方程：42 a2,b2,c2 ec2

a2（设计意图：通过离心率公式求解，较简单，强调学生不要粗心即可.）

练习1 已知双曲线y23x23，求双曲线离心率的值. （设计意图：反复练习，加深对椭圆和双曲线离心率的认识.）

2、根据已知条件建立a,c等量关系求离心率

x2y2例2 已知F1,F2分别是双曲线221(a0,b0)的左，右焦点，过F1且垂ab直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点，若△ABF2是直角形，则离心率e . 解析：由图可知，AF1F1F2, b2 2c

a a2c22ac

e22e10

e21

（设计意图：初步感知由图像得到等量关系的方法，体会图像带来的便捷.）

x2y2练***面直角坐标系中，椭圆221(ab0)的焦距为2c,以O为圆心，

aba2a为半径作圆，过点(,0)作圆的两切线互相垂直，则离心率e . c(设计意图：再次感知图像为求离心率带来的便捷，并通过例2和练习2，为不知道怎么用几何性质的同学提供思想方法.) 例3 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆与A,B两点, OAOB与a(3,1)共线.则椭圆的离心率

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为 . x2y2解:设椭圆方程为221(ab0)，F(c,0)，则

abx2y2直线AB的方程为：yxc.代入221，得

ab(a2b2)x22a2cxa2c2a2b20 令A(x1,y1),B(x2,y2),则OAOB(x1x2,y1y2),

OAOB与a(3,1)共线

3(y1y2)(x1x2)0

又y1x1c,y2x2c,3(x1x22c)(x1x2)0. 2a2c3c3c22a3b,

,x1x2,即22ab22c2a2b226椭圆的离心率e2，

e2aa332(设计意图：通过本例，让同学们知道，有些图像对我们解题有帮助，有些没有帮助，当涉及到向量等知识时，要注意向量的工具性作用，这种题通常不难，但计算量较大，所以需要同学们有足够的信心做下去.) 类型二、求离心率的取值范围

x2y2例4 设P点是椭圆221(ab0)上一点， F1， F2为椭圆的左右焦点，ab如果F1PF290,求此椭圆的离心率的取值范围.

思考：本题的解法唯一吗？

(设计意图：通过本题，让学生体会一题多解和多提一解的思想，课堂上发挥学生的主体作用，让学生参与课堂教学，培养小组合作学习的意识，为学生自主学习和解决难题提供方法.方法一：利用图形的几何特征求解；方法二：利用基本不等式求解；方法三：利用三角函数的有界性求解；方法四：利用二次方程有实根求解.) x2y2练习3 已知椭圆221(ab0)的焦点分别为F1，F2

,该椭圆上存在一点Pab

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使得F1PF260,则椭圆离心率的取值范围 . (设计意图：强化四种解题方法，强调：虽然很多题目不一定四种方法均可，但大致都可以从这四个方向下手，提高解题效率.) x2【思考题】

双曲线C：2y21(a0)与直线l:xy1相交于两个不同的点aA、B.求双曲线的离心率e的取值范围．

(设计意图：一方面强化本节课所巩固的知识，另一方面，若课堂时间调节做两手准备，同时体会参数间取值范围相互影响的思想方法.) 三、课堂小结

关于离心率问题的基本解题思路是什么？

（本阶段通过学习小结进行课堂教学的反馈，组织和指导学生归纳知识、技能、方法的一般规律，深化对数学思想方法的认识，为后续学习打好基础.）

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