1.1.3 四种命题间的相互关系优秀教学设计

考纲要求: 1、

了解命题的概念，会分析原命题及其逆命题、否命题与逆否命题这四种命题的相互关系；

2、

给出四种命题中的一种，能够写出其他的三种. 基础知识回顾: 1．命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

2．四种命题及其关系

（1）四种命题

原命题：若p则q；原命题的逆命题：若q则p；

原命题的逆否命题：若q则p。

原命题的否命题：若p则q；【注】命题的否定：若p则q。（命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论，而命题的否定仅是否定命题的结论。）

（2）四种命题间的关系

（3）四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系. 应用举例: 类型一、四种命题之间的关系

【例1】【2017河北冀州中学高三摸底考试】命题“若a>b，则a>b”的否命题是(

) 22A．若a2>b2，则a≤b

C．若a≤b，则a2>b2

【答案】B

B．若a≤b，则a≤b

22D．若a≤b，则a2≤b2

【解析】根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”．该题中，p为

a2>b2，q为a>b，故p为a2≤b2，q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b. 【例2】【2017江苏省泰州中学高三摸底】命题“若x＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为(

) 2A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题

C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题

【答案】C

【解析】根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．

类型二、命题的真假判断

【例3】【江西省赣州市2017届高三第二次模拟考试】对于下列说法正确的是( ) 2A.若fx是奇函数，则fx是单调函数

B.命题“若x2x20，则x1”的逆否命题是“若x1，则x2x20”

C.命题p:xR,2x1024，则p:x0R，2x01024

D.命题“x,0,2xx2”是真命题

【答案】D

【例4】【天津市红桥区2017届高三二模】已知下列命题：

①函数fx2x212x2有最小值2；

2②“x4x50”的一个必要不充分条件是“x5”；

2③命题p：xR，tanx1；命题q：xR，xx10.则命题“pq”是假命题；

32④函数fxx3x1在点2,f2处的切线方程为y3. 其中正确命题的序号是__________．

【答案】③④

【解析】fx2x212x2，设t1x22t2，ftt在t2,上为增函数，fx的最小值为32，①错误；②x5x24x50，“x24x50”的一个必要不充分条2件是“x5”，错误；③命题p：xR，tanx1，为真命题；命题q：xR，x2x10，为真命题；则命题“pq”是假命题，正确；④函数fxx3x1在点2,f2处的切线32方程为y3，正确；正确命题的序号为③④. 【点睛】对每个命题进行判断，研究函数的最值首先要考虑函数的定义域；判断充要条件要搞清谁是条件，谁是结论；判断复合命题的真假首先要判断两个简单命题的真假；利用导数求切线方程要明确导数的几何意义.

类型三、命题的否定与否命题

【例5】【2017河北邯郸市成安一中高三入学考试】“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为______________________________．该命题的否定为______________________________．

【答案】在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B不都是锐角

【解析】原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．

即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．命题的否定是否定命题的结论，即“在△

ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B不都是锐角”。

类型四、已知命题真假求参数范围

【例6】【2017山西省长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中高三联考】已知命题p：关于x的不等式a＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，命题q：函数y＝lg(ax－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

x21【答案】0，∪[1，＋∞).

2

a≤0或a≥1，故1a＞2

0＜a＜1，或1a≤，2

1解得a≥1或0

21故实数a的取值范围是0，∪[1，＋∞). 2【例7】【湖北省黄冈中学2017年高三5月第三次模拟考试】

若命题“x0R,x022x0m0”是假命题，则m的取值范围是__________．

【答案】1,

方法、规律归纳: 1、一个区别：否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．

2、写一个命题的其他三种命题时的2个注意点

(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．如“题组练透”第3题②易忽视．

3、命题真假的2种判断方法

(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．

(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．

（1）逆命题与否命题互为逆否命题；（2）互为逆否命题的两个命题同真假，故当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．

4、根据命题真假求参数的3步骤

(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；

(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；

(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．

5、判断含有逻辑联结词命题真假的2个步骤

(1)先判断简单命题p，q的真假．(2)再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．

实战演练:

1．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2017年第一次高考模拟考试】下列结论中正确的个数是( ) ①“”是“”的充分不必要条件

②若③命题“④函数，则，；

”的否定是“在，”；

内有且仅有两个零点．

A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A

【解析】由于时，成立，反之不成立，所以①正确；因为若，命题“若，则”不正确，因此②不正确；由于全称命题与特称命题互为否定，因此③不正确；由于当时，，当时，，所以函数在内仅有一个零点，即④不正确。应选答案A。

2．【江西省鹰潭市2017届高三第一次模拟考试】下列命题中错误的是( ) A.若命题为真命题，命题为假命题，则命题“B.命题“若C.命题“若D.命题：【答案】C

，，则，则或或，则”为真命题

”为真命题

”的否命题为“若为，

，则且”

3．【山东省淄博市2017届高三3月模拟考试】下列命题为真命题的是( ). A.若B.“，则

”是“函数为偶函数”的充要条件

C.，使成立

D.已知两个平面【答案】D

，若两条异面直线满足且，则

4．【2017届重庆市第八中学高三文上第二次适应性考试】命题“若xy1，则xy1”的否命题是( ) A．若xy1，则xy1

B．若xy1，则xy1

C．若xy1，则xy1

D．若xy1，则xy1

【答案】C

【解析】

试题分析：否命题是否定条件和结论，故选C. 考点：四种命题及其相互关系. 5．【2017届山西孝义市高三上学期二轮模拟】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A．任意一个有理数，它的平方是有理数

B．任意一个无理数，它的平方不是有理数

C．存在一个有理数，它的平方是有理数

D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

【答案】B

【解析】

试题分析：由命题的否定的定义知，“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，

它的平方不是有理数．

考点：命题的否定．

6．【2017河南省洛阳市高三统考】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(

) A．(p)∨(q) C．(p)∧(q) 【答案】A

B．p∨(q) D．p∨q

【解析】p：甲没有降落在指定范围；q：乙没有降落在指定范围，至少有一位学员没有降落在指定范围，即p或q发生．即为(p)∨(q). 7．在命题“若m＞－n，则m＞n”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．

【答案】3 【解析】若m＝2，n＝3，则2>－3，但2<3，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝－3，n＝－2，则(－3)>(－2)，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3. 8．【2017河北省枣强一中高三摸底】已知p(x)：x＋2x－m＞0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为________．

【答案】[3,8) 【解析】因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又p(2)是真命题，所以4＋4－m＞0，解得2222222m＜8.故实数m的取值范围是[3,8)．

29．【2017河北省魏县一中高三摸底】设命题p：函数f(x)lg(axx1a)的定义域为R；命题q：16xx不等式39a对xR均成立。

（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；

（2）如果命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

1a(,2]4【答案】a2；

10．【2017河北省定州中学高三月考】已知命题p：“存在a>0，使函数f(x)＝ax－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q：“存在a∈R，使∀x∈R,16x－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．

221a(,2]4【答案】a2；