信息技术应用 图形技术与函数性质课时教学实录

吴川市第二中学教学设计参评稿件

课

题：

《函数的单调性与导数》

学

科： 数 学

所用的教材：

高二

年级 人教A 版 选修1-1 册

设计者： 李 璧 颖

日

期： 2018年5月18 日

《函数的单调性与导数》教学设计

（人教A版

选修1-1

第3章

第3节）

一、教材分析与学情分析：

1.教学内容分析：

《函数的单调性与导数》，这节课的教材选自人教A版，普通高中课程标准实验教科书﹒数学﹒选修1-1，是在学生学习了导数概念及其几何意义和导数的计算等基础上展开研究的，也是今后应用导数研究函数的极值、最值等性质奠定基础，是研究函数性质的重要工具。函数单调性的定义在数学必修1中已经有系统学习，并直接利用单调性的定义和函数图像进行研究。本节课通过对导数的几何意义（切线的斜率）进一步分析，得出函数的单调性与其导函数的正负的关系，同时体现应用导数研究函数单调性的优越性。在高考中常利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间，极值，最值，以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断函数的单调性起着基础性的作用。学习本节课既加深了学生对前面所学知识之间的联系，也为后续学习做好了铺垫，教材的这种设计独具匠心，起到承前启后的作用。

2.学情分析：根据新课标要求和教材的分析，并结合学生的认知特点，确定如下几个方面为本课的教学目标：

二、教学目标：

知识与技能：

1、了解函数

单调性与导函数

正负之间的关系; 2、能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（多项式函数一般不

超过三次）. 过程与方法：

1、结合实例，借助图象（几何直观），通过合作探究，观察、归纳，让学生得出函数的单调性与其导数正负之间的关系的一般结论，以及体会数形结合的方法. 2、学生通过实例，从数与形两个不同的角度进一步理解知识概念，掌握利用函数的导函数的正负来判断（证明）函数的单调性的方法. 情感态度与价值观：

在知识的形成过程中，学生体验成功，激发学生的兴趣，在意志力、自信心、理性精神等情感与态度方面得到良好的发展. 三、教学重点、难点：

重点：理解函数单调性与其导函数的正负的关系，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. 难点：导数与函数单调性的关系.

教学媒体：课件PPT，几何画板

四、教学过程设计：

教学预计教学内教师活动

学生活动

教学评价

步骤

时间容

（分）

1 2分钟

创设高问题情境：如图:3.3-1（1）表示高台观察图象，思考设计熟悉台跳水跳水运动员的高度h随时间t的变化并进行笔答

的问题情中运动函数

的图像境，通过状态变3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度问题的形化的问v随时间t变化的函数式引导学题，引v(t)=

=-9.8t+6.5的图像. 生思考与导学生函数单调思考与性的关函数单系，思考调性的函数单调联系，性与导函

引入新课

数正负的关系. 2 5分钟

创设高台跳水中运动员状态变化的问题，引导学生思考与函数单调性的联系，引入新课

图3.3-1（1）

图3.3-1（2）

思考问题：1.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？

2.若运动员在t=a时达到最高点，在t=b时入水，你能写出函数h(t)的单调区间吗？在单调区间内其导函数v(t)=h’(t)的正负情况如何？

3.观察下列函数的图象，探讨函数的单调性与其导函数正负的关系？

学生思考问题，并通过笔答的形式完成。

观察图像，对函数y=x3学生可能提出：在区间（-∞，+∞）上递增，但是导数2y’=3x并不是恒大于0。（老师给予适当的引导）

通过设置问题的铺垫，引导学生直观感知知识.

图3.3-2

3

5分钟

合作探探究：

究，获1. 观察几何画板动态图，探讨切线斜取新知

率的变化与函数图像“上升”“下降”之间的关系，你能总结一般的函数f(x)在(a,b)内的单调性与其导函数正负的关系吗？

分析：导数f’(xA)表示函数f(x)在点A处切线的斜率，在A处f’(xA)>0,切线是“左下右上”式的，函数f(x)在A附近单调递增；当点A运动到最高点右侧时，f’(xA)<0,切通过学生自主探究和合作交流，完成教学目标，突出知识重点.

线是“左上右下”式的，函数f(x)在A附近单调递减。

学生总结：

一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有可导,则函数在

这个区间内，

如果

f’(x)>0 ，那么函数y=f(x) 在这个区间内单调递增; 如果

f’(x)<0 ，那么函数y=f(x)

在这个区间内单调递减.

”某个区间”必定是函数定义通过几何画板动态图，让学生观察域的子区间

切线斜率的变化（导数的几何意义）与函数单调性的关系，引导学生作出总结。

2. 结论中,某个区间（a,b）怎么理解?

3. 如果函数y=f(x)在某个区间内恒有f’(x)=0,那么函数y=f(x)有什么特性？

4 5分钟

知识应例1 已知导函数的下列信息：

用，提当10;当x>4,或x<1时，高能力

f’(x)<0; 当x=4,或x=1时，f’(x)=0.试画出函数f(x)图像的大致形状。

(注：本题是开放题，学生的答案也许是“百花齐放”，图像可能是“凸”弯曲，可能是“凹”弯曲，也可能是条直线. 教师就学生中主要出现的两类答案进行投影分析，提出“折点”问题，特别强调在当x=4,或x=1时，f’(x)=0,说明原来函数的图像在这两点存在切线，且切斜率为0) 学生独立完成后相互交流，教师进行点评。

解:可知f(x) 在区间（1，4）内单调递增；在区间（-∞，1）和（4，+∞）内单调递减，函数f(x)图像的大致形状为：通过具体例题进行巩固理解函数单调性与其导函数正负之间的关系，在知识的应用中体验成功. 5 8分钟

知识应例2. 判断下列函数的单调性，求出单用，提调区间，并画出函数大致图像：

高能力

（1）

（2）

f(x)=

（先让学生独立完成，学生完成后相互交流，教师进行点评并且对问题（1）给出解题过程的示范性板书,第（2）题让学生上黑板板演）

反思：1.本题如果不用导数方法，直接运用单调性的定义，应该如何求解本题？运算过程麻烦吗？你有什么体会？

2.用导数求函数单调区间的一般步骤是什么？（根据学生的回答进行归纳提炼）

（1）求函数的定义域；

（2）求出函数的导函数

; （3）解不等式

和

（4）与定义域求交集

（5）确定函数的单调增区间和减区间.

思考问题并解决，体会利用导数求函数单调区间的一般步骤，并根据函数单调区间画出函数的大致图像

思考反思并回答

让学生学会利用新知识求函数单调区间，突破本节课重点，并对照解题的规范步骤，进行知识应用的进一步内化.

6 7 13分课堂巩1.课本P93 练习1 让学生思考、讨钟

固练习

2.链接高考：（2015年福建22题节选）

论、完成，并请同学上黑板板

已知f(x)=lnx-,求函数f(x)的单调演

递增区间. 2分钟

归纳总这节课我们学习了哪些知识和方法？思考并回答

结、反（根据学生的回答进行归纳提炼）

馈评价

作业布课本P98：

置

习题3.3 A组第1题、第2题

通过练习巩固课堂所学内容，了解高考方向

8

五、板书设计：

函数的单调性与导数

函数的单调性与导数的关系

利用导数求函数单调性的步骤

例题讲解：

例1、

例2、

巩固练习1，2 课堂小结

作业布置

多媒体

六、教学反思：