习题2.4教案和学案内容

第

1 页

共

7 页

抛

物

线

复习

突破点(一)

抛物线的定义及其应用

抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 利用抛物线的定义求解距离问题

[例1]

(1)(2017·赣州模拟)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为(

) A．(0,0)

C．(1，2)

1

B.2，1

D．(2,2) (2)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．

(3)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．

[解析]

(1)过M点作准线的垂线，垂足是N(图略)，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．

(2)依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1(图略)，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1，5)到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5. (3)由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：|4－0＋6|4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是＝2. 5[答案]

(1)D

(2)5

(3)2 焦点弦问题

焦点弦的常用结论：

以抛物线y2＝2px(p>0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在准线上的射影为A1，B1，则有以下结论：

p2(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；

4

第

2 页

共

7 页

(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AF|＝pp，|BF|＝；

1－cos θ1＋cos θ2p(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝2(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是sinθ最短的焦点弦；

p2(4)S△AOB＝(其中θ为直线AB的倾斜角)；

2sin θ112(5)＋＝为定值；

|AF||BF|p(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；

(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切；

(8)以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°；

(9)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线．

[例2]

已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1

(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ的值．

x－p，与y2＝2px联立，消去y有4x2－[解]

(1)由题意得直线AB的方程为y＝22·25px＋p2＝0，所以x1＋x2＝5p. 45p由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x. 4(2)由(1)得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，则x1＝1，x2＝4，于是y1＝－22，y2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)．设C(x3，y3)，则OC＝(x3，y3)＝OA＋λOB＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1,42λ－22)．

2又y3＝8x3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.

[方法技巧] 焦点弦问题的求解策略

解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解．

1.[考点一](2016·广州一模)如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝(

)

第

3 页

共

7 页

A．n＋10

C．2n＋10

B．n＋20

D．2n＋20 解析：选A

由题意得，抛物线C：y2＝4x的焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义，可知|P1F|＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，…，|PnF|＝xn＋1，故|P1F|＋|P2F|＋…＋|PnF|＝x1＋x2＋…＋xn＋n＝n＋10，选A. 2.[考点二]已知抛物线y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D(如图所示)，则下列关于|AB|·|CD|的值的说法中，正确的是(

) A．等于1 B．等于4 C．最小值是1 D．最大值是4 解析：选A

设直线l：x＝ty＋1，代入抛物线方程，得y2－4ty－4＝0.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，根据抛物线的定义知，|AF|＝x1＋1，|DF|＝x2＋1，故|AB|＝x1，|CD|＝x2，所以|AB|·|CD|22y1y2y1y22＝x1x2＝·＝.而y1y2＝－4，故|AB|·|CD|＝1. 441633.[考点一]已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为，则|AB|的最大值为(

) 2A．1

B．2

C．3

D．4 解析：选D

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3，利用抛物线的定义可知，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝4，由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|，即|AB|≤4，当且仅当直线AB过焦点F时，|AB|取得最大值4.

4.[考点二]若抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，动点P在曲线y2＝－4x(y≥0)上，则△PAB的面积的最小值为________．

y＝x－1，解析：由题意得F(1,0)，直线AB的方程为y＝x－1.由2得x2－6x＋1＝0.设y＝4x，2y0－，y0(y0≥0)，则点P到A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝8.设P4

直线AB的距离d＝y0＋y0＋1422|y2y0＋2210＋4y0＋4|，∴△PAB的面积S＝|AB|·d＝＝≥22，222即△PAB的面积的最小值是22. 答案：22 5.[考点二]设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.

第

4 页

共

7 页

p证明：设直线AB的方程为x＝my＋，代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0. 2p2由根与系数的关系，得yAyB＝－p，即yB＝－y. A2p∵BC∥x轴，且C在准线x＝－上，

2p2py－，yB.

则kOC＝＝A＝kOA.

∴直线AC经过原点O. ∴C2yAxA

突破点(二)

抛物线的标准方程及性质

基础联通

抓主干知识的“源”与“流”

图形

标准方程

范围

焦点坐标

准线方程

离心率

焦半径

考点贯通

抓高考命题的“形”与“神”

求抛物线的标准方程

1．定义法

根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．

2．待定系数法

(1)根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程．

(2)当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标y2＝2px(p＞0)

y2＝－2px(p＞0)

x2＝2py(p＞0)

x2＝－2py(p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离

x≥0，y∈R

x≤0，y∈R

y≥0，x∈R

y≤0，x∈R p，0

2px＝－

2e＝1 p|PF|＝x0＋

2－p，0

2px＝

2

p|PF|＝－x0＋

20，p

2py＝－

2

p|PF|＝y0＋

20，－p

2py＝

2

p|PF|＝－y0＋

2

第

5 页

共

7 页

准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，为避免开口方向不确定可分为y2＝2px(p>0)和y2＝－2px(p>0)两种情况求解．另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．如果不确定焦点所在的坐标轴，应考虑上述两种情况设方程．

[例1]

若抛物线的顶点在原点，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点，求抛物线的标准方程．

[解]

对于直线方程3x－4y－12＝0，

令x＝0，得y＝－3，令y＝0，得x＝4，

所以抛物线的焦点坐标可能为(0，－3)或(4,0)．

p当焦点坐标为(0，－3)时，设方程为x2＝－2py(p>0)，则＝3，

2所以p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；

p当焦点坐标为(4,0)时，

设方程为y2＝2px(p>0)，则＝4，

2所以p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x. 所以所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x. 抛物线的几何性质

[例2]

(1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为(

) 1A.2，0

1C.4，0

2B．(1,0)

D．(0,1) x2y24(2)若抛物线y＝mx的准线经过椭圆＋＝1的左焦点，则实数m的值为________．

73pp[解析]

(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－且过点(－1,1)，故－＝－1，解得p＝222.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．

x2y241(2)抛物线y＝mx的准线方程为x＝－m，椭圆＋＝1的左焦点坐标为(－2,0)，由题73211意知－＝－2，所以实数m＝. m21[答案]

(1)B

(2)

2[方法技巧] 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．

第

6 页

共

7 页

抛物线方程的实际应用

抛物线的几何特性在实际中应用广泛，解决此类问题的关键是根据题意(一般是根据题中所给图形)建立适当的直角坐标系，设出抛物线的标准方程，依据题意得到抛物线上一点的坐标，从而求出抛物线方程，进而解决实际问题．

[例3]

一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸(单位：m)如图，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3 m，车与箱共高4.5 m，此车能否通过隧道？说明理由．

[解]

建立如图所示的直角坐标系，设矩形的边与抛物线的接点为A，B，则A(－3，－3)，B(3，－3)．

设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，

将B点坐标代入得9＝－2p·(－3)，

3所以p＝.所以抛物线方程为x2＝－3y(－3≤y≤0)．

2因为车与箱共高4.5 m，所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5 m. 3设抛物线上点D的坐标为(x0，－0.5)，则x20＝，所以|x0|＝

2所以2|x0|＝6<3，

故此车不能通过隧道．

能力练通

抓应用体验的“得”与“失”

1.[考点二]抛物线y＝2x2的焦点坐标是(

) 1111，0

B.，0 C.0，

D.0，

A.8282110，. 解析：选C

抛物线的标准方程为x2＝y，所以焦点坐标是822.[考点二]抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为(

) 11A.

B．－

C．4 D．－4 4411解析：选B

由题意知抛物线的标准方程为x2＝y，所以准线方程y＝－＝1，解得aa4a1＝－. 43.[考点一]设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是(

) A．y2＝－8x

C．y2＝－4x

B．y2＝8x

D．y2＝4x

36＝，

22p解析：选B

因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以＝2，所以p＝4，所以抛物线的2

第

7 页

共

7 页

方程是y2＝8x. 4.[考点一]以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P(1，m)到焦点的距离为4，则抛物线的方程是(

) A．y＝4x2

C．y2＝6x

B．y＝12x2

D．y2＝12x

p解析：选D

设抛物线的方程为y2＝2px，则由抛物线的定义知1＋＝4，即p＝6，所2以抛物线方程为y2＝12x. x2y25.[考点二]抛物线x＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两332点，若△ABF为等边三角形，则p＝________. AB3p3解析：在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，＝p，所以B±p，－.又因2323p2p234为点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6(负值舍去)．

33答案：6 6.[考点三]如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．

解析：建立坐标系如图所示．则可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．∵点(2，－2)在抛物线上，∴p＝1，即抛物线方程为x2＝－2y.当y＝－3时，x＝±6.∴水位下降1米后，水面宽为26米．

答案：26