习题3.2ppt配套教案板书设计

《立体几何中的向量方法习题课》教学设计

湖南省永州市第一中学 周建权

一、教学内容分析

立体几何中的向量方法是高中数学的重要内容之一，是历年高考的必考内容。立体几何中的向量方法突出以向量为工具，通过代数运算去解决空间中点、线、面的位置关系问题，是数形结合思想的有力体现，本课题的学习，有助于发展学生的观察能力，推理能力，运算能力，同时处处渗透着联系与转化的数学思想，对学生数学思维的培养和优化具有重要作用。

二、学情分析

高中立体几何涉及四类主要问题：证平行、证垂直、求角、求距离，本节课之前，学生已经学习了解决上述问题的几何法，也把每一类问题的向量法作了初步学习归纳，另一方面，在实际解决问题的过程中，学生在如何建立空间直角坐标系，如何巧妙准确求出一些点的坐标，如何灵活准确地进行计算等问题上有所欠缺，这些环节成为本专题的拦路虎和易错点。

三、教学目标

1、熟练掌握建立空间直角坐标系的四种方法，体会同一立体几何问题不同建系方法优劣。

2、掌握解决点的坐标的三种主要途径。

3、培养空间想象能力，体会转化的数学思想。

四、重点难点

重点：建立空间直角坐标系的四种主要方法，求点的坐标的三种主要途径；

难点：“造墙角”建系，利用几何关系求坐标。

五、教学策略

本节课采用了先练后讲、反思归纳的教学策略，例题分层设置，教师展示例题，比较容易的让学生独立思考，较难的让学生充分讨论，突破难点，先练后讲，自主总结。

六、教学过程

1、基础知识梳理

引导学生自主回忆和思考立体几何中的几类主要问题对应的向量结论：

设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为u，v，

则：

线线平行：l//ma//b

线面平行：l//au

面面平行：//u//v

线线垂直：lmab

线面垂直：la//u

面面垂直：uv

abab线线夹角：（l，m的夹角）cos

线面夹角：（l，的夹角）sinauauuv

面面夹角：（，的夹角）cosuv

【设计意图】通过学生自主回忆和归纳，使学生对立体几何中有关的向量关系有一个清晰地掌握，为有效运用向量法解决立体几何问题打下坚实基础。

2、探究一：如何建立空间直角坐标系

类型一、用“墙角”

例1、如图，四棱锥PABCD中，PAABCD，PB与底面所成的角为45，底面ABCD为直角梯形，ABCBAD90，PABC（1）求证:平面PAC平面PCD；

（2）在棱PD上是否存在一点E，使CE//平面PAB?若存在，请确定E点的位置，若不存在，请说明理由. 1AD1. 2

【设计意图】本例题有较明显的建系条件，即“墙角”，建系难度不大，由学生独立思考完成，培养学生的观察分析能力。

类型二、证“墙角”

例2、如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB3，BC5，

(1)求证：AA1⊥平面ABC；

(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；

(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求

BD的值．

BC1

【设计意图】本例第（1）问不适合用向量法，提醒学生不可只掌握向量法一种证明方法，第一问的证明应是为第二问建系做准备，让学生体会在建系过程中若题目已给出有待证明的“墙角”，则需先证明，后建系。

类型三、造“墙角”

例3、如图，四棱锥PABCD中，ABCBAD90，BC2AD，PAB与PAD都是边长为2的等边三角形.

（1）证明：PBCD；

（2）求二面角APDC的余弦值.

【设计意图】本题没有现成的墙角可用或可证，应通过做辅助线造出“墙角”，并加以证明，难度要求较高，为集思广益，寻找思路，本题采用小组讨论方式来解决，探讨应怎样建系。

类型四、找“直角”

例4、如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，AC22，PA2，E是PC上的一点，PE3EC. （1）证明：PC平面BED；

（2）设二面角APBC的平面角为90，求PD与平面PBC所成角的大小.

【设计意图】本题设置成一题多解问题，通过不同的建系方式，让学生体会不同方法下求坐标便捷性的差异，体会建系选择的重要性。

探究二：如何在直角坐标系下求点的坐标

例1.如图,在三棱锥PABC中,ABAC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上.已知BC8,PO4,AO3,OD2. (1)证明:APBC. (2)若点M是线段AP上一点,且AM3.试证明平面AMC⊥平面BMC.

探索建系求点，如上右图，以O为原点，过O且与平行于BC的直线为x轴，OD所在直OP所在直线为z轴，线为y轴，建立空间直角坐标系，则A0,3,0，P0,0,4，B4,2,0，C4,2,0

（1）证明略

（2）此问若选择向量法来解，则需求出平面AMC和平面BMC的法向量，不难发现，关键是求M的坐标，下面探索三种方法：

解法一：几何法

过M作MQAD于点Q，则MQ平面ABC，由APAO2OP25且

MQAM12OQPM6612得MQ，又得OQ，M0,,

OPAP5OAPA555解法二：向量运算法

AM3，APAO2OP25，AM3AP，

5设Mx,y,z，则x,y3,z解法三：等价代替法

36120,3,4得x0，y6，z12M0,,

55555AC4,5,0，AM33912AP0,3,40,,,由此平面AMC的法向量可求；

5555612912BC8,0,0，BMBAAM4,5,00,,4,,，由此平面5555BMC的法向量可求

此法根据问题需要，采用迂回战术，绕道而行，不直角求点M的坐标，根据解题需要求出相应的向量坐标就行，体现了转化与化归的思想。

【设计意图】本题通过一题多解，让学生体会了对待一些较难求的点的坐标的三种典型策略，通过对比，更能深刻感受到不同策略间的思维差异，计算差异，本题小组讨论形式学习，充分激发学生的积极性。

3、课堂小结

引导学生回顾本节课的主要内容，回答以下问题：

（1）建立空间直角坐标系的主要方法有哪些？

（2）对一些较难求的点的坐标，有哪些处理策略？

【设计意图】通过引导学生总结归纳本节课核心内容，将建立空间直角坐标系的四种方法：用“墙角”、证“墙角”、造“墙角”，找“直角”以及处理点的坐标问题的三种方法：几何法、向量运算法、等价代替法建构到原有的知识结构中去，对立体几何中的建系求点形成一个整体的归纳。

4、课后作业

（1）将本节课所学例题详细解答过程整理一遍；

DEAB（2）如图(1)，等腰直角三角形ABC的底边AB4，点D在线段AC上，于E，现将ADE沿DE折起到PDE的位置（如图（2））.

（Ⅰ）求证：PBDE；

（Ⅱ）若PBDE，直线PD与平面PBC所成的角为30，求PE长. AEPBEDCCBD

图（1）

图（2）

（3）如图，在三棱锥PABC中，ABBC22，PAPBPCAC4，O为AC的中点．

（Ⅰ）证明：PO平面ABC；

（Ⅱ）若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所

成角的正弦值．

P

ABOMC

【设计意图】本组作业涵盖了知识的重新整理，建系的选择，坐标的求解，题目设置了一定梯度，考察能力全面，可有效巩固基础知识，促进学习反思。