2.3 抛物线（通用）教案设计（一等奖）

“抛物线及其标准方程”教案

授课人：莫月娴

【教学目标】

1.

使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．

2. 要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．

3. 通过观察实物图和一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．

【教学重点】 抛物线定义的探究过程及标准方程的推导. 【教学难点】

2y抛物线标准方程2px(p0)推导过程的组织和引导，以及如何类比发现另三种形式的标准方程．

【教具准备】

多媒体课件、三角板、几何画板

【教法、学法】

启发引导，分析讲解，练习领会. 【课堂模式】 学案导学

【教学过程】

一、引入新课

借助于《几何画板》演示“动点轨迹”

1yx24上任一点M(x,y)，点F(0,1)，直线问题一：已知抛物线l:y1，设点M到直线l的距离为d，问|MF|与d有何大小关系？

结论：|MF|=d. [设计意图]由学生自己求解|MF|及d的大小并回答结果，教师分析、纠正出现的问题，如

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|MF|y1|，dy1等.) 12x4师生分析：（1）抛物线上任一点M到点F与点M到直线l的距离相等吗？

1yx24上吗？

（2）到点F与到直线l的距离相等的点都在抛物线y[设计意图]利用学生熟悉的学过的知识让学生感性认识一下抛物线的特征) 问题二：（演示实验）如图，把一根直尺固定在画图板内直尺l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样粉笔就描出一条曲线.反复演示几遍后，请同学们思考：

师：点M到点F与点M到直线l的距离相等吗？

生：相等. 师：为什么？

师生：由|AC||MC||AM|,|AC||MF||AM|得|MC||MF|.

二、探究新知

（一）归纳抛物线的定义

由上述问题一、二教师提出问题：动点M的轨迹是抛物线吗？

生：是. 师：能否归纳出抛物线的定义呢？

生：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．

师：点F、直线l又有什么名称？

生：点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线. 师：是否还要加上“定点F在定直线l外”这个条件呢？

生：需要，不要都有. 师：应该加上“定点F在定直线l外”这个条件. 师：若定点F在定直线

l上，则动点的轨迹又是什么图形呢？

师生分析：为过F点且与直线

l

垂直的一条直线. [设计意图]由上述直观性问题及实验引出了抛物线定义，顺理成章. 通过让学生动口、动手、动脑参与教学活动，培养了学生自然观察的能力和数学语言的表达能力. （二）抛物线的标准方程 下面我们来求抛物线的方程，先由学生根据自己的思考建立坐标系，求出抛物线的方程，

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教师巡视，从学生的求法中归纳出以下三种方案：过点F作垂直于直线l的直线，垂足为K，设|KF|p(p0)，

1.以K为原点，定直线l所在的直线为y轴建立平面直角坐标系(如图1)，此时可得曲线方22y2pxp(p0). 程为：2. 以F为原点，过F且垂直于定直线l的直线为x轴建立平面直角坐标系(如图2)，此时22y2pxp(p0). 可得方程： 3. 以垂线段KF的中点O为原点，KF所在的直线为x轴建立平面直角坐标系(如图3)，此2y时可得方程：2px(p0).

yy

y

K



FxK



F

x

KO

Fx

l

l

图2

l

图1 图3 以图3为例师生共同推导：设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d，焦点ppF(,0)x22．

，准线l的方程由抛物线的定义，抛物线就是集合P{M||MF|d}.

pppp|MF|(x)2y2d|x|(x)2y2|x|222. 2，

所以因为，2y将上式两边平方并化简，得2px(p0). 师：哪个才是最恰当的建系方案呢？哪个方程更简洁？

生：显然方案3的建系最恰当，所得出的方程更简洁. 22y2px(p0)y师：方程是抛物线的方程吗？上面的抛物线是方程2px(p0)的曲线吗？如何判断呢？

2y生：用曲线的方程和方程的曲线的概念判断. 方程2px(p0)是抛物线的方程. 2y师：我们把方程2px(p0)叫做抛物线的标准方程.它所表示的抛物线的焦点坐标是pp(,0)x22. ，准线方程是师：p有怎样的几何意义呢？

生：焦点到准线的距离. [设计意图]让学生亲自动手建系求解方程，各种建系的方法都有，所得方程形式不同，才

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能让学生真正体会到坐标系对方程的影响.同时，通过师生的对话交流、密切合作和信息的互动，让学生体验合作交流探究的学习过程，并自觉地建构起抛物线标准方程的知识系统. 师：在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选取不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.那么抛物线还可以怎样建立坐标系，得出抛物线的标准方程呢？

可以让学生分组求出其它三种形式的标准方程，师生协作，填充抛物线标准方程的分类表格（上课时下面的表格设计成空白的，由学生回答完成后再一一填上）. 图形

y

标准方程

y22px焦点位置

焦点坐标

p(,0)2

准线方程

xp2

Ox

yx轴正半轴上

(p0)

y2px

2

(O

x

x轴负半轴上

p,0)2

xp2

(p0)

x22py

O

y

x

y

y轴正半轴上

p(0,)2

yp2

(p0)

x22py

O

y轴负半轴上

(0,)2

py

p2

x

(p0)

[设计意图]让学生自己动手，进一步从具体的学习探究中更容易挖掘出规律性知识，更规范地掌握抛物线的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程这四者之间的内在联系，从而在实践中灵活地应用.同时，渗透数形结合的思想，也使本节的知识系统化. 三、理解新知

图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆，通过四种标准方程对比，总结出: (1)方程的共同特点:左边都是二次式,且系数为1；右边都是一次式.

(2)焦点位置的判断方法：在标准形式下，看一次项.若一次项的变量为X（或Y），则焦点就在X（或Y）轴上;若一次项的系数为正（或负），则焦点在正（或负）半轴. [设计意图] 寻找“抛物线的图形”、为准确地运用新知，作好准备. 四、运用新知

2y例1（1）已知抛物线的标准方程是6x，求它的焦点坐标和准线方程；

（2）已知抛物线的焦点坐标是F(0,2)，求它的标准方程.

4

33F(,0)x2. 解：（1）因为p3，所以抛物线的焦点坐标是2,准线方程是p2y2（2）因为抛物线的焦点在轴的负半轴上，且, p4,所以，所求抛物线的标准方2x程是

8y . [设计意图] 检查学生对抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程和图像之间的内在联系的认识，巩固知一求三的应用意识. 方法总结: 求抛物线的标准方程的一般方法: 第一、确定焦点的位置；第二、确定抛物线方程的形式；第三、确定p值（焦准距）；第四，将p值代入.

练习巩固：

1.（2016年高考四川卷文）

抛物线y24x的焦点坐标是（

）

(A)

(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0) 答案：D 2y4x2.抛物线的焦点坐标为______，准线方程 . 答案：(0,11),y1616

3.已知抛物线的焦点F到准线l的距离为4,则此抛物线的标准方程为______________．

22x8y,y8x

答案：2y4.抛物线2px(p0)上一点M到焦点的距离是a(2ap)，则点M到准线的距离pa2. 是 ,点M的横坐标是__________. 答案：a，[设计意图] 进一步加深对抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程和图像之间内在联系的理解. 师：能说明二次函数点坐标、准线方程？

生：化成标准形式，讨论a的取值符号，确定焦点位置，再写焦点坐标、准线方程. 师：不讨论是否可以直接写呢？

师生共同分析：可化为(0,x21ya0a，为抛物线的标准方程，因此是抛物线，焦点坐标yax2a0的图象为什么是抛物线吗？如何才能正确地求出它的焦为

11)y4a，准线方程为4a. 5

[设计意图] 改变方程中参数的条件，进一步提升学生对抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程和图像之间内在联系的认识，把看似需要分类讨论的问题一般化. 例2: 一种卫星接收天线的轴截面如图（1）所示.卫星波束呈近似平行状态的射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径为4.8m，深度为0.5m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．

解：如图2，在接收天线的轴截面所在平面内建立平面直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合. 2y设抛物线的标准方程为2px(p0). 2(0.5,2.4)2.42p0.5，即p5.76. A由已知条件可得，点的坐标是，代入方程，得

2y所以，所求抛物线的标准方程为11.52x，焦点坐标是(2.88,0). 师：为什么抛物线的标准方程有四种形式，本题只写出一个能对吗？思考后回答. 生：对的，因为只建立了一种坐标系. 注意：焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论

变式：如果将接收天线的轴截面上下放，又如何求解？

[设计意图]一方面加深学生的数学应用意识，让学生感受数学的价值，体会数学来自生活，又应用于生活，服务于生活.另一方面还是加深对抛物线的标准方程等方面知识的理解和掌握.

五、课堂小结

本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想和方法？学生作答后，教师再总结

1．知识与技能：（1）抛物线的定义；

（2）抛物线的四种形式的标准方程及相应的焦点坐标、准线方程；

（3）标准方程中p的几何意义；

（4）求抛物线标准方程的基本方法：待定系数法. 关键是：定焦点位置——确定标准方程形式——求p的值——写方程. 2．思想与方法：类比的思想、数形结合的思想、特殊与一般的思想，待定系数法. [设计意图] 引导学生自我反馈、自我总结，并对所学知识进行提炼升华，使知识系统化.让学生学会学习，学会内化知识的方法与经验，促进学习目标的完成. 六、布置作业

1. 书面作业

(1) 必做题：

P73 习题2.4

A组

1.（1）、（3），2，3. 2y(2) 选做题：1.已知抛物线的标准方程为ax(a0)，求此抛物线的焦点坐标和准线方程.

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2y2x2. 求抛物线的焦点坐标和准线方程. 3. 已知抛物线经过点(4,2)，求它的标准方程.

4. 课后探究：

p的几何意义是焦点到准线的距离，其实也是抛物线的定形条件.你能说出p的大小对抛物线的开口大小有什么影响吗？

[设计意图]设计作业的必做题1.（1）、（3），2，3，是引导学生先复习，再作业，它们基本上就是基础知识的再现，能够培养学生良好的学习习惯.课后探究的安排，是本节课有关内容的延伸、拓展，又是为下继内容作些铺垫、畜势，让学生有“意尤未尽”之感.同时形成开放性学习环境，满足了不同学生的需要，目的是努力使每一位学生都能得到成功的体验，有效地促进不同层次学生的发展.

七、板书设计

抛物线及其标准方程

抛物线的标准方程

建系方案三

抛物线的定义

例1 例2 建系方案一

建系方案二

应用与小结

练习

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