6.4 反三角函数教学设计与反思

反三角函数（1）——反正弦函数

一、教学内容分析

根据反函数的概念，正弦函数y=sinx（x∈R）没有反函数.但是如2∈[-，]就存在反函数，为什么要选取[-，]，教师要作必要性2222说明.我们把函数y=sinx，

x∈[-，]的反函数叫做反正弦函数，记22果我们适当选取实数集R的一个子集[-，]，那么函数y=sinx，

x2作y=arcsinx，x∈[-1，1]，学生对符号的arcsinx的理解比较困难，前面符号中的x必须满足|x|≤1，arcsinx是[-，]上的一个角的弧度数，这个角的正弦值为x.根据互为反函数间的图像关系，函数y=arcsinx，x∈[-1，1]的图像和函数y=sinx，

x∈[-，]的图像应该关于直线y=x对称，这样容易作出反正弦函数的图像，根据其图像可以得到反正弦函数y=arcsinx，x∈[-1，1]是奇函数，且单调递增.

二、教学目标设计

1．理解函数y=sinx（x∈R）没有反函数；理解函数y=sinx，

x∈[-，]有反函数；理解反正弦函数y=arcsinx的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[-，].

2．知道反正弦函数y=arcsinx ，x∈[-1，1]的图像. 3．掌握等式sin（arcsinx）=x，x∈[-1，1]和arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]. 4．能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角. 5．会用数形结合等数学思想分析和思考问题. 三、教学重点及难点

教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质. 教学难点：反正弦函数yarcsinx,x1,1的产生和从本质上处理正弦函数ysinxxR的反函数问题. 四、教学用具准备

直尺、多媒体设备

五、教学流程设计

22222222

反正弦函数的定义

（

师生讨论、探究、提炼概念）

正弦函数

的图象

与性质

反正弦函数的

图象与性质

互为反函数

的两个函数

的图象与性

质的关系

应用举例(求特殊值的反正弦函数值、用反正弦函数值表示角、运用反正弦恒等式化简或求值) 巩固、反馈、总结、反思、作业

六、教学过程设计

一、

情景引入

1．复习

我们学习过反函数，知道，对于函数y=f（x），x∈D，如果对它的值域中的任意一个值y，在定义域D中都有唯一确定的值x与它对应，使y=f（x），这样得到的x关于y的函数叫做y=f（x）的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的.

2．思考

那么正弦函数是否存在反函数呢？

[说明]

因为对于任一正弦值y都有无数个角值x与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数.

3．讨论

正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得ysinx在该区间上存在反函数.因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得

ysinx存在反函数呢？

这个区间的选择依据两个原则：

（1）ysinx在所取区间上存在反函数；

（2）能取到ysinx的一切函数值1,1. 可以选取闭区间,，使得ysinx在该区间上存在反函数，而这个反22函数就是今天要学习的反正弦函数.

二、学习新课

1．概念辨析

（1）反正弦函数的定义：

函数y=sinx， x∈[-，]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx，x∈[-1，1]. （2）反正弦函数的性质：

①图像

21yy=arcsinxy=x22

xy=sinxo12

②定义域[-1，1]

③值域[-，] ④奇偶性：奇函数，即arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1]

⑤单调性：增函数

[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线yx对称，函数22y=sinx，x∈[-2，线yx对称.

2．例题分析

三、巩固练习

四、课堂小结

五、作业布置

2]与函数y=arcsinx，x∈[-1，的图像关于直1]