直角三角形的性质与判定教学设计一等奖

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《直角三角形的性质与判定》教学设计

第一章

三角形的证明

2．直角三角形（一）

清远市清城区龙塘镇第一初级中学

谢启明

学情分析

勾股定理及其逆定理在八年级第一学期已由学生通过一些直观的方法进行了探索，利用数方格和图形拼接、割补等方法验证了勾股定理，而对于勾股定理的证明应以我们认定的几条公理和由此推出的定理为依据进行，古今中外的证明方法有很多种，但对学生来说，这些方法都有一定难度，课前让学生利用课余时间上网搜索，查阅“总统证法”的来历，既可以增加本节课学习的趣味性，又能提高课堂学习效率。

接下来关于勾股定理的逆定理证明方法，通过观看微课视频了解该证明方法的基本作图，让学生更加直观深刻体会数学模型思想，进一步发展演绎推理能力和创造思维能力。在八年级第一学期对命题的条件和结论认识的基础上进一步探究互逆命题与互逆定理，结合具体例子让学生通过合作交流的方式进行分析比较，得出它们的条件与结论之间的关系。

学生核心素养的发展

学生核心素养在本节课得到发展主要体现：通过证明推理的方法得出勾股定理的正确性，提升学生的演绎推理能力和科学探究精神；结合“总统证法”分析最近中美贸易关系宏扬社会主义核心价值观，培养学生的家国情怀；课前查找“总统证法”的来历，课内自主完成习题并能从中提出疑问、解决问题，提高学生自主学习的能力；在命题与互逆命题的学习中分小组进行合作交流，体验数学活动中的探索与创造性，增强学生的合作意识与实践创新意识。按照《课程标准》的要求，以学生的学情为核心依据，运用现代教育信息技术，通过高效的课堂教学进一步发展学生的数学核心素养。

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教学目标

1．知识目标：

（1）掌握直角三角形的勾股定理及其逆定理的证明方法，并能应用定理

解决与直角三角形有关的问题。

（2）通过合作交流得出逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立。

（3）结合具体例子理解逆定理的概念，知道要成为互逆定理必须满足一个定理的逆命题经过证明是真命题,即一个定理不一定有逆定理。

2．能力目标： （1）进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，形成几何直观和运算能力，发展抽象思维。

（2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力，体会数学模型思想。

（3）学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。

3．情感与价值观：

（1）鼓励学生积极参与数学活动，体验数学活动中的探索与创造性，感受数学的严谨性。

（2）养成独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯，形成实事求是的科学态度。

（3）宏扬社会主义核心价值观，培养学生的爱国主义情怀。

教学重点和难点

重点：①掌握勾股定理及其逆定理的证明方法．

②结合具体例子了解逆命题的概念．

难点：勾股定理及其逆定理的证明方法．

教学方法

观察实践法，分组讨论法，合作交流法，自主探究法

教学手段

极简教育技术，多媒体课件，导学案，学习积分卡，微课视频

课前准备 直角三角形卡纸，全班分成12个小组（以社会主义核心价值观命名）

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教学过程

一、

复习热身

从学生原有的认知结构提出问题：

问题1：（拿出直角三角形卡纸）同学们，请问这是一个什么几何图形？

问题2：你还记得关于直角三角形的哪些知识内容？

学生举手回答问题，归纳得出关于直角三角形的重要性质和判定方法。

二、

新课探究

1、

勾股定理的证明

以前，我们曾经利用数方格和图形割补的方法验证了勾股定理，而这些验证方法在严谨的数学推理面前明显缺乏说服力，现在我们要通过证明推理的方法，得出勾股定理的正确性！古今中外，在众多的证明方法中，“总统证法“是比较简洁直观的。（让学生利用课余时间上网搜索，查阅“总统证法”的来历，课堂上讲述“总统证法”的来历，增加本节课学习的趣味性，提高课堂学习效率）

证明：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方

已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝a，BC＝b，AB＝c．

求证：a2+b2＝c2．

（利用多媒体课件展示基本作图过程，然后学生分小组讨论完成证明过程。运用极简教育技术展示学生的证明过程，并让学生自主评讲，最后教师评价）

结合“总统证法”分析最近中美贸易关系，中国国力强盛不惧怕任何国家的霸权主义，由此进一步宏扬社会主义核心价值观，培养学生的爱国主义情怀。

2、勾股定理逆定理的证明

如果把勾股定理的条件和结论倒过来就得到另一个定理，“如果三角形两边第

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的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”，这个定理我们又应该怎样去证明呢？看完以下这个微课视频，相信你会有很大启发。

证明：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

已知：如图,在△ABC中，AC2+BC2=AB2。求证：△ABC是直角三角形。

播放微课视频，让学生更加直观了解该证明方法的基本作图，感受数学的严谨性。然后学生继续分小组讨论完成证明过程。

（运用极简教育技术展示学生的证明过程，并让学生自主评讲，最后教师评价）

随堂练习：(提醒学生先自己独立思考，遇到困难再寻求同学或老师帮助) （1）如果一个三角形的三边分别是6、10、8，则这个三角形是＿＿＿三角形。

（2）在△ABC中，已知∠A =∠B=45°，BC=3，则这个三角形是＿＿＿三角形，AB的长为＿＿＿。

（3）如图，BA⊥DA，AD = 12，DC = 9，CA = 15， 求证：BA∥DC。(请你尝试用多种方法进行证明) 3、命题与互逆命题

观察下面三组命题，请问： （1）它们的条件与结论分别是什么? （2）它们的条件与结论之间有怎样的关系?

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上面每组中两个命题的条件和结论之间都有类似的关系吗?根据以下问答示范，请同学们分小组进行合作交流！（学生两人一组合作进行问答，体验数学活动中的探索与创造性，最后归纳得出每组中两个命题的条件和结论之间的关系）

通过让学生观察这些成对命题的结论与条件之间的关系，再以青春期学生的“叛逆思想”为导向，引导学生得到互逆命题的概念：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。进一步归纳得出：原命题成立，其逆命题不一定成立。

4、定理与互逆定理

自主探究：类似的，上面两个定理的条件与结论之间又有怎样的关系？通过进一步的观察实践归纳得出：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

随堂练习：(再次提醒学生先自己独立思考，遇到困难再寻求同学或老师帮助) （1）判断正误：

①每个命题都有逆命题，每个定理也都有逆定理。（ ）

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②命题正确时其逆命题也正确。（ ）

③直角三角形两边分别是3，4，则第三边为5。（ ）

（2）说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假: ①矩形是平行四边形；

②若两个图形关于某条直线对称，则这两个图形是全等图形；

③如果ab=0，那么a=0，b=0. （3）下列定理有哪些存在逆定理？

①等腰三角形的两底角相等 ②对顶角相等 ③全等三角形的对应角相等 ④内错角相等，两直线平行 三、中考链接

（通过中考题型加深对知识的理解，拓展学生的思维空间）

1、（2014•广州）已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：＿＿＿＿＿＿，该逆命题是＿＿＿命题．( ) A. 如果两个三角形的面积不相等，那么这两个三角形全等；真

B. 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假

C. 如果两个三角形的面积不相等，那么这两个三角形全等；假

D. 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；真 2、（2011•怀化）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=＿＿＿． 四、课堂小结

回顾这一节课的学习，你有什么收获？

（先让学生谈这一节课的学习收获，再进行归纳总结） 1、勾股定理及其逆定理的推理证明 证明的规范性在于：条理清晰，因果对应,有理有据。 2、命题与逆命题 每个命题都有逆命题，即必定有互逆命题。 3、定理与逆定理

要成为互逆定理必须满足一个定理的逆命题经过证明是真命题,即一个定理不一定有逆定理。 第

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五、提升训练

（联系生活实际，进一步提升运用所学知识解决问题的能力）

1、以下命题的逆命题属于假命题的是（ ）

A 等边三角形是锐角三角形 B 全等三角形的对应边相等

C 两直线平行，同位角相等 D 直角三角形两锐角互余

2、若一个直角两直角边之比为3：4，斜边长20cm，则两直角边分别为

＿＿＿，＿＿＿。

3、公园中景点A、B间相距50m，景点A、C间相距40m，景点B、C间相距30m，由这三个景点构成的三角形一定是直角三角形吗？为什么？

4、台风过后，某中学旗杆在B处断裂，旗杆顶A落在离旗杆底部C点8m处，已知旗杆原长16m，则旗杆在距底部几米处断裂。

六、布置作业 (面向不同层次的学生，采用“必做题+选做题”的作业形式) 必做题：书本P17 习题1.5 第1题

选做题：①习题1.5 第2题

②习题1.5 第3题

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