等边三角形的判定优质课教案内容

等边三角形

教学目标

知识与技能

1.进一步学习证明的基本步骤和书写格式.

2.掌握与等边三角形、直角三角形有关的性质定理和判定定理.

过程与方法

让学生学会分析几何证明题的思路,并掌握证明的基本步骤和书写格式.

情感态度价值观

经历作辅助线的过程,进一步增强学生的合情推理意识,培养学生养成主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系.

教学重难点

【重点】

等边三角形的判定定理.

【难点】

直角三角形的性质定理.

教学准备‘’

【教师准备】

多媒体课件.

【学生准备】

复习等腰三角形的判定定理和反证法.

教学过程

一、新课导入

导入一:

等边三角形作为一种特殊的等腰三角形,具有哪些性质呢?又如何判别一个三角形是等边三角形呢?

生1:等腰三角形已经有两条边相等,我认为只要腰和底边相等,此时的等腰三角形就是等边三角形.

生2:等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°.我认为等腰三角形的三个内角都等于60°,此时的等腰三角形就是等边三角形.

(此时,部分同学同意上述看法,部分同学不同意,引起激烈地争论.教师可请一名学生充分发表自己的看法)

生3:我不同意第二位同学的看法.因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形.根据等角对等边,三个内角都是60°,所以它们所对的边一定相等.但这一问题中“已知三角形是等腰三角形,满足什么条件时是等边三角形”,我觉得给的条件太多,浪费!

师:(1)给三个角都是60°,这个条件的确有点浪费,那么给什么条件不浪费呢?同学们可在小组内交流自己的看法.

(2)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?能证明你的结论吗?把你的证明思路与同伴交流.

[设计意图]

设计成问题串是为引出等边三角形的判定定理埋下伏笔.学生独立思考是对上节课内容有效地检测手段.

导入二:

1.已知:∠ABC,∠ACB的平分线相交于点F,过F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E.

(1)找出图中的等腰三角形;

(2)找出BD,CE,DE之间存在的数量关系;

(3)证明以上结论.

2.复习关于反证法的相关知识.

用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.

证明:假设在一个三角形中没有一个内角小于或等于60°,即都大于60°.

那么,这个三角形的三个内角之和就会大于180°.

这与定理“三角形的三个内角之和等于180°”相矛盾,因此假设不成立,故原命题正确.

[设计意图]

通过对上节课内容的复习,加深了学生对知识的掌握,同时为新知识的引入做好了准备.

二、新知构建

一、证明定理

思路一

[过渡语]

同学们,下面我们来研究如何判定一个三角形是等边三角形?

教师概括出等边三角形的判别条件,并引导学生总结出下表:

性质

判定的条件

等边对等角

等角对等边

“三线合一”即等腰三角形顶角的等腰三角形平分线、底边上的中线及底边上的有两个角相等

(含等边三高线互相重合

角形)

等边三角形的三个内角都相等,并三个角都相等的三且每个角都等于60°

角形是等边三角形

[学生总结]

1.顶角是60°的等腰三角形是等边三角形;

2.底角是60°的等腰三角形是等边三角形;

3.三个角都相等的三角形是等边三角形;

4.三条边都相等的三角形是等边三角形.

[教师总结]

得到下列定理.

定理

三个角都相等的三角形是等边三角形.

定理

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

我们还学习过直角三角形,今天我们研究一个特殊的直角三角形:有一个角等于30°的直角三角形.拿出三角尺,做一做:

用两个含30°角的全等的三角尺,你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?由此你能发现什么结论?说说你的理由.

总结出定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

已知:如图所示,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∠BAC=30°.

求证BC=AB.

〔解析〕

从拼三角尺的过程中得到启发,延长BC至D,使CD=BC,连接AD.

证明:延长BC至D,使CD=BC,连接AD(如图所示).

∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,

∴∠ACD=90°,∠B=60°.

∵AC=AC,

∴△ABC≌△ADC(SAS).

∴AB=AD(全等三角形的对应边相等).

∴△ABD是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形).

∴AB=BD=AD.

∴BC=BD=AB.

[设计意图]

让学生经历定理的探究证明过程,提高学生的自主探究能力.

思路二

[过渡语]

同学们,你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你的证明思路是什么?

定理:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,且有一个角等于60°.求证△ABC是等边三角形.

证明:当∠A=60°时,

∵AB=AC,∴∠B=∠C=60°,

∴△ABC是等边三角形;

当∠B=60°时,

∵AB=AC,∴∠B=∠C=60°,

∴∠A=60°.∴△ABC是等边三角形.

用两个含30°角的三角尺,你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?由此你能发现什么结论?说说你的理由.

由此你能想到,在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?能证明你的结论吗?

定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

已知:如图所示,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∠BAC=30°.

求证BC=AB.

〔解析〕

从拼三角尺的过程中得到启发,延长BC至D,使CD=BC,连接AD.

证明:延长BC至D,使CD=BC,连接AD(如图所示).

∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,

∴∠ACD=90°,∠B=60°.

∵AC=AC,

∴△ABC≌△ADC(SAS).

∴AB=AD(全等三角形的对应边相等).

∴△ABD是等边三角形(有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形).

∴AB=BD=AD.

∴BC=BD=AB.

[设计意图]

通过严格的推理证明,让学生掌握几何证明题的步骤,并进一步培养学生的合情推理意识,主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系.

二、例题讲解

[过渡语]

前面我们学习了定理,下面我们看定理的一个应用.

(教材例4)求证:如果等腰三角形的底角为15°,那么腰上的高是腰长的一半.

已知:如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=15°,CD是腰AB上的高.

求证CD=AB.

证明:在△ABC中,

∵AB=AC,∠B=15°,

∴∠ACB=∠B=15°(等边对等角).

∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°.

∵CD是腰AB上的高,

∴∠ADC=90°.

∴CD=AC

(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半).

∴CD=AB.

三、课堂小结

1.等边三角形的判定定理

三个角都相等的三角形是等边三角形.

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

2.直角三角形的性质定理

在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

四、检测反馈

1.等边三角形中,两条中线所夹的钝角的度数为

(

)

A.120°

B.130°

C.150°

D.160°

答案:A 2.等腰三角形的周长为80 cm,若以它的底边为边的等边三角形的周长为30 cm,则该等腰三角形的腰长为

(

)

A.25 cm B.35 cm C.30 cm D.40 cm 解析:根据等边三角形三边相等知底边长为10 cm.由等腰三角形两腰相等知一腰长为(80-10)÷2=35(cm).故选B.

3.下列三角形:①有两个角等于60°;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有

(

)

A.①②③

B.①②④

C.①③

D.①②③④

解析:根据等边三角形的判定方法知①②③④均正确.故选D.

4.如图所示,D,E,F分别是等边三角形ABC各边上的点,且AD=BE=CF,则△DEF的形状是

A.等边三角形

B.腰和底边不相等的等腰三角形

C.直角三角形

D.不等边三角形

解析:可证△ADF≌△BED≌△CFE,得DF=DE=EF,∴△DEF是等边三角形.故选A.

五、板书设计

第4课时

一、证明定理

二、例题讲解

六、布置作业

(

)

一、教材作业

【必做题】

教材第12页随堂练习.

【选做题】

教材第12页习题1.4的1,2,3题.

二、课后作业（见素材）

教学反思

成功之处

本节课难点在于

“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半”,由于设计了三角尺操作的实践活动,课堂上学生的思维非常活跃,方法多样,取得较好的效果.

不足之处

在教学过程中,语言不够简练,尤其是对一些数学术语把握得不够准确,导致课堂教学时间不充足.

再教设计

在课堂教学设计中,让学生在“动手操作”的过程中,借助已有的知识和方法主动探索新知识,扩大认知结构,从而使课堂教学真正落实到学生的自主探究上.