公因式为多项式的提公司因式法教学设计案例

第四章

因式分解

4.1

因式分解

教材分析

因式分解是整式的一种重要的恒等变形，它和整式的乘法运算有着密切的联系，是今后学习分式化简与运算、解方程（组）及代数式和三角函数式恒等变形的重要基础。因此学好因式分解对于代数知识的后续学习具有相当重要的意义。本节是因式分解的第一小节，它主要让学生经历从因数分解到因式分解的过程，让学生体会数学思想——类比思想，了解因式分解的意义，理解因式分解与整式乘法运算之间的互逆关系，感受因式分解在解决相关问题中的作用。

学情分析

学生的技能基础：学生在小学已经对因数分解有了充分的认识，并在七年级学习了整式的乘法运算，具备了一定的代数运算技能。

学生活动经验基础：由整式乘法到对因式分解的学习是一种逆向思维过程，而八年级学生已具备一定的逆向思维能力和自主学习的习惯。因此在教学过程中让学生自主学习、合作交流，养成积极探索、及时归纳的习惯。

教学目标

1、经历从因数分解到因式分解的类比过程，发展类比思想；

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2、经历用几何图形解释因式分解的意义的过程，发展几何直观； 3、通过观察发现因式分解与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力； 4、通过探究活动发展独立思考能力与团结协作精神。

教学重点

理解因式分解的意义，会判断一个式子是否是因式分解。

教学难点 理解因式分解与整式乘法的相互关系。

教学过程

一、回顾梳理

1、什么是整式乘法？

2、整式乘法有哪些公式？

【设计意图：学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法】

二、课堂引入

活动内容：我们来做一个数学游戏，游戏规则是：（多媒体课前展示）

(1)大家说出一个大于1的正整数；

(2)写出它的立方减去它本身的代数式，如：434；

(3)不通过计算，说出这个代数式能被哪些正整数整除，你能做到吗？

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399教师提问：游戏的关键是什么？你知道99能被100整除吗？你是怎么做的？（两分钟后多媒体展示小明的做法）

问题：99399还能被哪些正整数整除？

【设计意图：通过数学游戏激起学生探究的欲望，并且体会到把数式化成几个数的积的形式是解决这类问题的关键，从而为引出因式分解的概念奠定基础】

三、探究新知

探究1：议一议

3a你能尝试把a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流。

【设计意图：通过议一议让学生从数式的解决类比解决含字母的式子，让学生感受类比思想】

探究2：做一做（多媒体展示）

观察下面拼图过程，写出相应的关系式：

归纳总结因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解，因式分解也可称为

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分解因式。

【设计意图：以拼图前后面积不变的方式，丰富学生对因式分解的理解，以几何直观来解释因式分解的意义，有助于发展学生的几何直观思维，并形象地说明因式分解是整式的恒等变形】

探究3：算一算（多媒体展示）

（1）计算下列各式：

①m(a＋b＋c)＝ ；

②(m＋4)(m－4)＝ ；

③(y－3)2＝ ；

（2）根据上面的算式填空：

①ma＋mb＋mc＝(

)(

)；

②m2－16＝(

)(

)；

③y2－6y＋9＝(

)2；

教师提问：（1）中由整式乘积的形式得到多项式的运算是？

（2）中由多项式得到整式乘积形式的变形是？ 探究4：理一理

教师提问：整式乘法与因式分解的关系是？

【设计意图：通过算一算，可以渗透整式乘法与因式分解的关系，通过利用理一理让学生认识它们是互逆变形】

四、应用举例

例1 下列由左边到右边的变形，哪些是整式乘法？哪些是因式分解？

2（1）12ab3a4ab

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（2）a(xy)axay

24x8x14x(x2)1 （3）210x5x5x(2x1)

（4）（5）x1x(11)

x【设计意图：让学生在认识因式分解的基础上，借助例题进行强化训练，使学生深入理解因式分解的概念，并能辨析整式乘法与因式分解】

巩固练习

1、连一连：

(1) x2－y2

A.（x＋1）2

(2) 9－25x2

B. y（x-y）

(3) x2 +2x+1

C.（3-5x）（3+5x）

(4) xy－y2

D.（x＋y）（x－y）

2x2、多项式4xm

，可以分解为(x3)(x7)

，则m=_____.

【设计意图：为学生提供自我检测的机会，检测教学目标达成情况、纠正错误、熟练知识，发现与弥补遗漏，达到深化理解所学内容。最大限度的让学生暴露问题，及时发现和弥补教与学中的遗漏和不足】

拓展提升

3、如图，由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a、b的小矩形拼接成矩形ABCD，则整个图形可以表达出一些有关多项式因式分解的等式。请写出其中任意三个等式．

A

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D a B a b b C

4、将下列四个图形拼成一个大长方形，再据此写一个多项式的因式分解.

x x 2 2

X 1 x 1 【设计意图：拓展提升，提高学生应用知识的能力】

课堂总结

1、这节课你学到了什么知识？

2、这节课你学到了什么思想方法？

3、你还有哪些困惑？

【设计意图：由学生自己进行课堂小结，教师再做适当的补充，目的是培养学生概括归纳知识的能力，同时学生在概括归纳的过程中，把所学的知识条理化、系统化。最后让学生自己说出困惑，让学生在学习过程中养成发现问题的习惯】

布置作业

必做题：教材习题4.1第3题、第5题；

选做题：教材习题4.1第4题.

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板书设计

4.1 因式分解

一、讨论 三、整式乘法与因式分解的联系

99399能被化成哪几个 整式乘法

数的乘积形式？ m(a+b+c) ma+mb+mc a3a被化成哪几个整 因式分解

式的乘积的形式？ 它们互为逆变形

二、定义 四、学生成果展示

把一个多项式化成几 拓展提升第4题

个整式的乘积的形式，这

种变形叫做因式分解，因

式分解也可称为分解因式。

教学评价与反思

本节课主要以学生的思维进程发展为主线，采用逐步渗透，螺旋式类比的方法。回顾梳理为本节课的学习提供迁移或类比方法，在概念引入时，学生通过因数分解类比出因式分解，对学生类比的数学思想进行培养，探究2以几何直观来解释因式分解的意义，丰富学生对因式分解的理解，有助于发展学生的几何直观思维。到概念强化阶段，又以整式的乘法与因式分解的对比，对学生的逆向思维能力进行培养。应用举例发现并弥补遗漏，达到深化理解所学内容，拓展提升提高学生应用知识的能力。课堂总结培养学生概括归纳知识的能力，让学生说出自己的困惑，养成发现问题的习惯。从一开始一连串的知识性问题引入，到后来环节中多次提出

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思考性的问题，启发、引导学生做进一步的猜想、探究，这种循序渐进的思维进程有助于学生理解接受新知识。总之，教学的着眼点不是熟练技能，而是发展思维，培养学生学习能力的同时，使学生在学习的情感态度与价值观上发生深刻的变化。

本节课环节设置比较完整，教学目标基本完成，但仍然有不足之处，具体教学反思如下：

1、没有深入渗透类比思想。探究1让学生类比数式来解决含字母的式子，但没有进行言语上的说明，导致学生运用类比方法却没有及时渗透。

2、教师过多引导。课堂上以学生为主，整节课应该是学生发现并解决问题，而不是教师指出问题并提问让学生去思考。如：探究3中的教师提问应该让学生观察思考后再展示，探究4中学生几乎都回答整式乘法与因式分解是互逆运算，教师可以先让学生自己发现错误，而不是直接说明。

3、没有给学生充分的展示机会。因为课堂教学中时间把握不到位，拓展提升的第4题没有让学生在讲台上展示，应该留给学生展示拼图的过程，而不是仅仅写出一个等式。

4、缺少具体评价。整节课的教学活动缺少对学生的具体评价，只简单的评价“好，非常好”等，没有对学生起到真正的鼓励作用。

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