三角形中的角平分线名师教学设计

角平分线

（一）、设计指导思想

本节在学习了直角三角形全等的判定定理及已有公理和学过的定理的基础上进一步学***分线的性质和判定定理及相关结论，学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，学***分线的画法，并还能说明所作的射线是角平分线的理由，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质．

（二）、教材分析

本节的重点是进一步发展学生的推理证明意识和能力，使之能够证明角平分线的性质和判定定理及相关结论，能够利用尺规作已知角的角平线；难点是初步应用角平分线的性质和判定定理，而关键是分清角平分线的性质定理和判定定理的题设和结论．教学时，主体运用启发式教学，采用“实验——猜想——验证”的课堂教学方法，适时启发诱导，让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，培养学生良好的思维方法与习惯．

学生初学角平分线的性质定理和判定定理，容易将角平分线上的一点到这个角两边的距离误认为过这点垂直于角平分线的垂线段．因此在教学中应首先让学生通过画三角形纸片的折痕来充分认识这一点．学生往往不能正确区分出角平分线的性质定理和判定定理，因此要通过分析定理的题设和结论帮学生正确认识．学生习惯用于找全等三角形的方法去解决问题，而不注重利用刚学过的定理来解决，这实际上是对定理的重复证明．教学中应要求学生遇到有角平分线或两条线段相等的条件时，先看能否用这两个定理，再去考虑其他方法．学生对某些命题的逆命题往往不容易找到，可让学生先把命题改写成“如果……那么……”的形式，再去找出逆命题．

（三）、学情分析

本学期是所有中考知识学习的重要阶段，学生没有象初一初二那么轻松，而是普遍感到紧张，中上的学生觉得课内的容易课外难，中上的学生感到疲于应付。

（四）、教学目标

(一)教学知识点

1．角平分线的性质定理的证明．

2．角平分线的判定定理的证明．

3．用尺规作已知角的角平分线．

(二)能力训练要求

1．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力．

2．体验解决问题策略的多样性，提高实践能力．

(三)情感与价值观要求

1．能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

（五）、教法学法

教法

教、学法设计

设计依据

以探索导学法为主，启发引导 式等多种教法相互穿插、综合 突出以教师为主导，

以学生为主体，以探索导学为主线的教学思想，发挥学生运用。

学法

探究答疑贯穿始终，自学与合的个性，注重合作学习，依据不同的教学作学习相配合，观察与动手操内容及学生实际情况灵活运用多种教法及学法。

作兼容并重。

（六）、媒体选择

媒体设计

自制课件 设计意图

贯穿教学始终，增强教学直观性和趣味性，适时突出重点，突破难点，适度加快教学进程，扩大教学容量。

（七）、教学程序

Ⅰ．设置情境问题，搭建探究平台

问题 还记得角平分线上的点有什么性质吗?你是怎样得到的? [生]我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：

(1)在一张纸上任意画一个

角∠AOB，沿角的两边将角

剪下，将这个角对折，使角

的两边重合

(2)在折痕(即角平分线)上任

意取一点C

(3)过点C折OA边的垂线，得

到新的折痕CD，其中，点D是

折痕与OA边的交点，即垂足

(4)将纸打开，新的折痕与OB 边的交点为E

从折纸过程中，我们可以得出CD＝CE，即角平分线上的点到角两边的距离相等．

[师]你能证明它吗? Ⅱ．展示思维空间，构建活动空间

[师]我们从折纸过程中得到了角平分线上的点的性质，我们还需运用所学的公理和已证的定理证明它，请同学们自己尝试着证明它，然后在全班进行交流．

[生]已知：如图，

OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．

求证：PD＝PE．

证明：∵∠1＝∠2，OP＝OP, ∠PDO＝∠PEO＝90°，

∵△PDO≌△PEO(AAS)．

∴PD＝PE(全等三角形的对应边相等)．

(教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导) [师]我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论，我们把它叫做角平分线的性质定理，我们再来一起陈述：(用多媒体演示)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

我们经常用逆向思维得到一个原命题的逆命题．你能写出这个定理的逆命题吗? 我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题。

[生]如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．

[生]我觉得这个命题是假命题，角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．

[师)这位同学思

考问题很仔细．事实

上，从同一点出发的

两条射线一般组成两

个角，而“角的内部”

通常是指其中小于180°的角的内部，其余部分为角的外部，如上图所示，到∠AOB两边距离

相等的点的集合应是射线OC、OD、OE、OF，但其中只有射线OC(即在∠AOB内部的射线)才是∠AOB的平分线．因此逆命题中应加上“在角的内部”的条件．

谁再来完整地叙述一下角平分线性质定理的逆命题呢? [生]在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．

[师]它是真命题吗? [生]没有加“在角的内部”时，是假命题．但根据题意我觉得应加上“在角的内部”这一条件，因此角平分线性质定理的逆命题是真命题．

[师]你能证明它吗? (由大家自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导) [生]证明如下：

已知：在∠AOB内

部有一点P，且PD⊥OA，

PE⊥OB，D、正为垂足且

PD＝PE，

求证：点P在∠AOB的角平分线上．

证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠PDO＝∠PEO＝90°．

在Rt△ODP和Rt△OEP中

OP＝OP，PD＝PE，

∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL定理)．

∴∠1＝∠2(全等三角形对应角相等)．

[师]逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理，给它起个名字吗? [生]我们就把它叫做角平分线的判定定理吧，因为满足条件的点在角平分线上，连接角的顶点与此点就得到了这个角的角平线了．

[师]很好!我们就把它叫做角平分线的判定定理吧!我们一起再来陈述一下它的内容：

在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．

我们证明了角平分线的性质定理和判定定理，你能用什么办法平分一个已知角呢?请在小组内交流．

[生]可以用量角器．

[生]使用三角尺，也可以平分一个已知角．

[生]如果有角尺的话，用角尺也可以平分一个已知角．

……

[师]很好!但我们今天要学习的是用直尺和圆规平分一个已知角，你能写出这个尺现作图的已知和求作吗? 已知：∠AOB(如图) 求作：射线OC，使

∠AOC＝∠BOC．

作法：1．在OA和

OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE．

2．分别以D、E为圆心，以大于1DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C. 2 3．作射线OC．

OC就是∠AOB的平分线．

(教学时，教师可以边介绍作法，边让学生动手完成整个操作过程) [师]我们能用尺规作一个已知角的平分线，请你说明OC为什么是∠AOB的平分戋，与同伴交流．

[生]从作图的过程中，不难发现OD＝OE，CE=CD，OC＝OC，

∴△OCE≌△OCD(SSS)．

∴∠1＝∠2，即OC是∠AOB的角平分线．

Ⅲ．随堂练习 如图，AD、AE分

则是△ABC中∠A内内

角平分线和外角平分

线，它们有什么关系? 解：∵AD平分∠CAB，

∴∠1、∠2=

1∠CAB．

2 又∵AE平分∠CAF，

∴∠3＝∠4＝1∠CAF．

2 ∵∠CAB+∠CAF＝180°，

∴∠1+∠3＝11 (∠CAB+∠CAF)＝×180°＝90°，即AD⊥AE．

22 Ⅳ．课时小结

这节课我们在折纸的基础上，证明了线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，并学习了用尺规作一个已知角的角平分线，进一步发展学生的推理证明意识和能力．

Ⅴ．课后作业

1．习题1．8第1，2，3题．

2．阅读“读一读”，使学生通过了解数学发展史上与尺规作图有关的“三大几何难题”，开阔他们的视野，体会数学家坚忍不拔的科学探索精神．

Ⅵ．活动与探究

如图，在∠AOB的两

边OA、OB上分别取OQ= OP，OT＝OS，PT和QS相

交于点C 求证：OC平分∠AOB．

证明：在△OPT和△OQS中，

OP＝OQ，OT＝OS，∠POT＝∠QOS，

∴△OPT≌△OQS(SAS)．

∴∠OTC＝∠OSC(全等三角形的对应角相等)．

在△CQT和△CPS中，

∵OT＝OS，OP＝OQ，∴OT-OQ＝OS-OP即QT=SP，

又∵∠PCS＝∠QCT，∠OTC＝∠OSC，

∴△CQT≌△CPS(AAS)．

∴CT=CS(全等三角形的对应边相等)．

在△OCT和△OCS中，OC=OC，OT=OS，CT＝CS．

∴△OCT≌△OCS(SSS)．

∴∠TOC=∠SOC(全等三角形的对应角相等)，即OC平分∠AOB. 板书设计

§1．4．1 角平分线(一) (一)角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等．

(二)角平分线的判定定理在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．

(三)用尺规作角平分线．