小结第二课时教学实录

圆锥曲线的最值问题

河北乐亭第一中学

马宁

【教学目标】

1、知识与技能：使学生明确求圆锥曲线中的最值问题的基本方法. 2、过程与方法：培养学生的分析问题和解决问题的能力,渗透数形结合、化归与转化的思想。

3、情感、态度与价值观:通过对问题的探究，使学生理解事物间普遍联系与辩证统一观点，并能体验成功的喜悦。

【教学重点与难点】

1、重点：求圆锥曲线中的最值问题的基本方法。

2、难点：形与数的转化，化归思想的应用。

【教法】

诱思探究法

【教学手段】

微机辅助教学

【教学程序】

方法一：圆锥曲线的定义转化法

根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等，这是求圆锥曲线最值问题的基本方法。

关键：用好圆锥曲线的定义

例1、点px2y21上，点A在曲线C2：在曲线C1：(x8)2y21上，点B在10036曲线C3：(x+8)2y21上，则PAPB的最小值是

（思维导图：（1）PA

PB）minPAminPBmin

↓

（2）

PAPC21PBminPC31min

↓

（3）

（PAPB）minPC2PC32

强调:P点在第一步暂时看成定点

变式训练：点px2y21上，点A在曲线C2：在曲线C1：(x+5)2y24上，点B916在曲线C3：(x5)2y21上，则PAPB的最大值是

x2y2112例2、已知点F是双曲线

4

的左焦点，定点A（1，4），P是双曲线右支上动点，则的最小值为

.

思维导引: 根据双曲线的定义，建立点A、P与两焦点之间的关系——两点之间线段最短

PFPA

解析:

|PF||PA|

|PF||PF"||PA||PF'|2a|PA||PF|'

4|AF'|9

变式：设B为圆C：x2y26x8y210上任意一点，抛物线y28x的准线l，若抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则mPB的最小值是

回顾反思与能力提升：

1、体现了什么数学思想方法？

2、理论根据是什么？

3、此法适合解决哪类问题？

方法二、三：圆锥曲线的切线法、参数法 x2y21,则3x4y的最大值是 ，3x4y的例3、设实数x,y满足169最小值是 。

法1.切线法

解：设椭圆与3x4y250平行的切线方程为3x4yt

3x4yt2

xy2116932y28my169t2064t2432(t2169)0

t122解题关键：画草图，转化为相切问题

回顾反思与能力提升：

1、此法用了哪种数学思想方法？

2、有没有别的办法？

3、要注意画出草图，根据图形确定何时取最大值，何时取最小值. 法2 参数法

根据曲线方程的特点，用适当的参数表示曲线上点的坐标，把所求的最值归结为

求解关于这个参数的函数的最值的方法. 关键：选取适当的参数表示曲线上的坐标

由参数方程,设椭圆上任意点P的坐标为(4cos,3sin)

则3x4y12(cossin)122sin()4

回顾反思与能力提升：

1、参数法体现了什么数学思想方法？

2、解析几何中还有哪些曲线可以做这种代换？

3、理论根据是什么？

4、关键是什么？

x2y21的右顶点和上顶点，D为椭圆上一点，则变式1.已知A,B是椭圆169ABD面积的最大值是

法1：直线AB的方程为xy1，即3x4y12

43接下来直接利用例3的结论,灵活变通.



|122sin()12|法2：

设点D(4cos,3sin),d|12cos12sin12|45

3242

S151221262625

x2y21的右顶点和上顶点，

C,D是椭圆上两点，变式2.已知A,B是椭圆且169分别在AB两侧，且四边形ACBD面积的最大值是 直线AB的方程为xy1，即3x4y12

43SABCSABD1|122(122)|1242

324251222222534

变式2设置的目的同样是对例3的应用,体会思想,触类旁通

方法四：函数法

把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数，通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法. 1|AB|两切线间的距离

2

关键：建立函数关系式

x2例4、求椭圆y21上一点到定点A(0,2)的距离的最值。（小组讨论）

4|PA|x2(y2)2设P(x,y), 44y2y24y43y24y8(1y1)

|PA|max28 |PA|min1

322x21y21上快问快答：已知点P在圆C：x(y2)上移动，点Q在椭圆4y4移动，求|PQ|的最大值．

设置为快问快答的目的是结合圆的性质,直接利用例4的结论,活学活用

思考:

若改为定点B(3,0)? COx|PA|(x3)2y22x2设P(x,y), x6x914

32x6x10(2x2)4设置的目的在于当定点在不同坐标轴时,要考虑到为了计算简单,消元不同. 回顾反思与能力提升：

1、此法用了哪种数学思想方法？

2、可以解决哪类问题？

3、有没有别的方法？

小结: 1.掌握求圆锥曲线中的有关最值的基本方法：

（1）定义法

（2）切线法

（3）参数法

（4）函数法

有些题目可以用多种方法解决，遇到此类题目时，要选取适当地方法。

2.解析几何是研究“形”的科学，在求圆锥曲线的最值问题时要善于结合图形，通过数形结合将抽象的问题、繁杂的问题化归为动态的形的问题，从而使问题顺利解决.

最后以华罗庚的一首小诗结束

数形结合百般好，

隔离分家万事休。

数缺形时少直观，

形缺数时难入微。

——华罗庚