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立体几何中的高考热点问题

南海区九江中学邱智伟

[命题解读]

1.立体几何初步是高考的重要内容，几乎每年都考查一个解答题，两个选择或填空题，客观题主要考查空间概念，三视图及简单计算；解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式，即利用定义、公理、定理证明空间线线、线面、面面平行或垂直，并与几何体的性质相结合考查几何体的计算.2.重在考查学生的空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运算能力．考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图形的折叠、探索开放性问题等；同时考查转化化归思想与数形结合的思想方法．

热点1

线面位置关系与体积计算

以空间几何体为载体，考查空间平行与垂直关系是高考的热点内容，并常与几何体的体积计算交汇命题，考查学生的空间想象能力、计算与数学推理论证能力，同时突出转化与化归思想方法的考查，试题难度中等．

1、如图7，四边形ABCD是菱形，四边形MADN是矩形，平面MADN⊥平面ABCD，E，F分别为MA，DC的中点，求证：

图7 (1)EF∥平面MNCB；(2)平面MAC⊥平面BDN.

热点2

平面图形折叠成空间几何体

先将平面图形折叠成空间几何体，再以其为载体研究其中的线、面间的位置关系与计算有关的几何量，是近几年高考考查立体几何的一类重要考向，它很好

地将平面图形拓展成空间图形，同时也为空间立体图形向平面图形转化提供了具体形象的途径，是高考深层次上考查空间想象能力的主要方向．

2、如图8，直角三角形ABC中，A＝60°，沿斜边AC上的高BD将△ABD折起到△PBD的位置，点E在线段CD上．

图8 (1)求证：BD⊥PE；

(2)过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB的中点，若PE∥平面DMN，DE求DC的值．

π13、如图9①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝2，AB＝BC＝2AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1-BCDE.

①

②

图9 (1)证明：CD⊥平面A1OC；

(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1-BCDE的体积为362，求a的值．

热点3

线、面位置关系中的开放存在性问题

是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题，是近几年高考命题的热点，常以解答题中最后一问的形式出现，一般有三种类型：(1)条件追溯型．(2)存在探索型．(3)方法类比探索型．

4、已知如图10，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝1，∠ABC＝∠DBC＝120°.

图10 (1)在直线BC上求作一点O，使BC⊥平面AOD，写出作法并说明理由；

(2)求三棱锥A-BCD的体积.

5、如图11，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°.

图11 (1)求三棱锥P-ABC的体积；

PM(2)在线段PC上是否存在点M，使得AC⊥BM，若存在点M，求出MC的值；

若不存在，请说明理由．

6、如图12，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．

图12 (1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；

(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F-AEC的体积．