习题2.1课堂实录

期中复习

一．选择题（共24小题）

1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的（

）

A．2倍

B．2倍

C．倍

D．3

2．若圆台两底面周长的比是1：4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是（

）

A．1：16

B．3：27

C．13：129

D．39：129

3．若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为（

）

A．1

B．3

C．2

D．

4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（

）

A．

B．

C．

D．

5．半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（

）

A．

B．

C．

D．

6．球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是（

）

A．

B．

C．

D．π

7．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E，F，AB＝6，AD＝8，AA1＝7，则异面直线EF与AA1所成角的正切值为（

）

A．

B．

C．

D．

8．若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（

）

A．若α⊥β，m⊥β，则m∥α

B．若m∥α，n⊥m，则n⊥α

C．若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β D．若m∥β，m⊂α，α∩β＝n，则m∥n

第1页（共14页）

9．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点M，DD1的中点N，则异面直线B1M与CN所成的角是（

）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

10．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（

A．若m∥α，m∥β，则α∥β

B．若m∥α，α∥β，则m∥β C．若m⊂α，m⊥β，则α⊥β

D．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β

11．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l（

）

A．平行

B．相交

C．垂直

D．异面

12．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为（

A．相交

B．平行

C．异面而且垂直

D．异面但不垂直

13．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，异面直线AD与CB1所成的角是（

）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

14．已知a∥α，b⊂α，则直线a与直线b的位置关系是（

）

A．平行

B．相交或异面

C．异面

D．平行或异面

15．关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是（

）

第2页（共14页）

））

A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n

C．m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n

B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n

D．m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n

16．若m，n表示空间中两条不重合的直线，α，β表示空间中两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（

）

A．若m∥n，n⊂α，则m∥α

C．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β

B．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n

D．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

17．若直线l∥平面α，直线a⊂α，则l与α的位置关系是（

）

A．l∥α

C．l与α相交

B．l与α异面

D．l与α没有公共点

18．设m，n为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是（

）

A．m⊥n，m∥α⇒n⊥α

C．m∥n，m∥α⇒n∥α

B．m⊥n，m⊥α⇒n∥α

D．m∥n，m⊥α⇒n⊥α

19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（

）

A．

B．

C．

D．

20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（

）

A．MN∥PD

C．MN∥AD

B．MN∥PA

D．以上均有可能

21．已知直线a，b，平面α，满足a⊂α，则使b∥α的条件为（

）

第3页（共14页）

A．b∥a

B．b∥a且b⊄α

C．a与b异面

D．a与b不相交

22．下列说法正确的是（

）

A．三点确定一个平面

B．一条直线和一个点确定一个平面

C．梯形一定是平面图形

D．过平面外一点只有一条直线与该平面平行

23．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（

）

A．一条直线不相交

C．无数条直线不相交

24．已知直线a⊂α，给出以下三个命题：

①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；

②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；

③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β．

其中正确的命题是（

）

A．②

B．③

C．①②

D．①③

B．两条直线不相交

D．任意一条直线不相交

期中复习卷2

参考答案与试题解析

一．选择题（共24小题）

1．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的（

）

A．2倍

B．2倍

C．倍

D．3

【解答】解：设原球的半径R，

∵球的大圆的面积扩大为原来的2倍，

则半径扩大为原来的∴体积扩大为原来的2故选：B．

2．若圆台两底面周长的比是1：4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是（

）

A．1：16

B．3：27

C．13：129

D．39：129

倍，

倍．

【解答】解：由题意设上、下底面半径分别为r，4r，

第4页（共14页）

截面半径为x，圆台的高为2h，则有

，

∴x＝．

∴＝＝．

故选：D．

3．若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径为（

）

A．1

B．3

C．2

D．

，球的表面积为：4πr

2【解答】解：设球的半径为r，则球的体积为：因为球的体积与其表面积的数值相等，所以

解得r＝3

故选：B．

4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（

）

A．

B．

C．

D．

【解答】解：正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是a．

a＝2r内切球，r内切球＝，

a＝2r外接球，r外接球＝∴r内切球：r外接球＝故选：D．

5．半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（

）

A．

B．

C．

D．

：3．

，

【解答】解：∵半径为R的球内接一个正方体，设正方体棱长为a，

正方体的对角线过球心，可得正方体对角线长为：可得a＝，

a＝2R，

第5页（共14页）

∴正方体的体积为a＝（故选：D．

3）＝3，

6．球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是（

）

A．

B．

C．

D．π

【解答】解：设：正方体边长设为：a

则：球的半径为

222所以球的表面积S1＝4•π•R＝4πa＝3πa

而正方体表面积为：S2＝6a

所以比值为：故选：C．

7．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E，F，AB＝6，AD＝8，AA1＝7，则异面直线EF与AA1所成角的正切值为（

）

2

A．

B．

C．

D．

【解答】解：取A1B1中点G，连接EG，FG，EG⊥FG，因为EG∥AA1，

所以异面直线EF与AA1所成角为∠FEG或其补角，

在△EFG中，FG＝5，EG＝7，所以tan∠FEG＝，

故选：A．

第6页（共14页）

8．若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（

）

A．若α⊥β，m⊥β，则m∥α

B．若m∥α，n⊥m，则n⊥α

C．若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β D．若m∥β，m⊂α，α∩β＝n，则m∥n

【解答】解：若α⊥β，m⊥β，则m与α可能平行也可能相交，故A错误；

若m∥α，n⊥m，则n⊂α或n∥α或n与α相交，故B错误；

若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β或α与β相交，故C错误；

若m∥β，m⊂α，α∩β＝n，则m∥n，故D正确．

故选：D．

9．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点M，DD1的中点N，则异面直线B1M与CN所成的角是（

）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

【解答】解：由题意，在右面补一个正方体，如图：

∵AB的中点M，取C1E的中点P，连接CP，

可得：CP∥B1M，

∴∠NCP是异面直线B1M与CN所成的角的平面角．

连接NP，

设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为a．

第7页（共14页）

可得：CN＝CP＝．

NP＝＝．

∵△NCP的三条边满足：CN2+CP2＝NP2．

∴∠NCP＝90°．

即异面直线B1M与CN所成的角是90°．

故选：D．

10．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（A．若m∥α，m∥β，则α∥β

B．若m∥α，α∥β，则m∥β C．若m⊂α，m⊥β，则α⊥β

D．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β

【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：

在A中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故A错误；

在B中，若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故B错误；

在C中，若m⊂α，m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；

在D中，若m⊂α，α⊥β，则m⊥与β相交、平行或m⊂β，故D错误．

故选：C．

11．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l（

）

A．平行

B．相交

C．垂直

D．异面

【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，

平面α为面AC，

①若直线l为直线AB，则直线AD⊥AB；

②若直线l为直线A1B1，则直线AD⊥A1B1；

③若直线l为直线AC1，直线BD⊥AC1；

故选：C．

第8页（共14页）

）

12．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB与CD的位置关系为（

）

A．相交

B．平行

C．异面而且垂直

D．异面但不垂直

【解答】解：由该正方体的平面展开图画出它的直观图为：

可以看出AB与CD异面；

如图，设该正方体一顶点为E，连接CE，DE，则AB∥CE；

∴∠DCE为异面直线AB，CD的夹角，并且该角为60°；

∴AB，CD异面但不垂直．

故选：D．

13．如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，异面直线AD与CB1所成的角是（

）

第9页（共14页）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

【解答】解：ABCD﹣A1B1C1D1为正方体中，

∵AD∥BC，

∴∠BCB1是异面直线AD与CB1所成的角，

∵∠BCB1＝45°，

∴异面直线AD与CB1所成的角为45°．

故选：B．

14．已知a∥α，b⊂α，则直线a与直线b的位置关系是（

）

A．平行

B．相交或异面

C．异面

D．平行或异面

【解答】解：∵直线a∥平面α，直线b在平面α内，

∴a∥b，或a与b异面，

故选：D．

15．关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是（

）

A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n

C．m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n

B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n

D．m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n

【解答】解：若m∥α，n∥β且α∥β，则m与n可能平行与可能异面，故A错误；

若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n，故B错误；

当n∥β且α∥β时，存在直线l⊂α，使l∥n，又由m⊥α，故m⊥l，则m⊥n，故C正确；

若n⊥β且α⊥β，则n∥α或n⊂α，若m∥α，则m与n可能平行，也可能垂直，也可能相交，故D错误；

第10页（共14页）

故选：C．

16．若m，n表示空间中两条不重合的直线，α，β表示空间中两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（

）

A．若m∥n，n⊂α，则m∥α

C．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β

B．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n

D．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

【解答】解：对于A，若n⊂平面α，显然结论错误，故A错误；

对于B，若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n或m，n异面，故B错误；

对于C，若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，根据面面垂直的判定定理进行判定，故C正确；

对于D，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m，n位置关系不能确定，故D错误．

故选：C．

17．若直线l∥平面α，直线a⊂α，则l与α的位置关系是（

）

A．l∥α

C．l与α相交

【解答】解：∵直线l∥平面α，

∴若直线l与平面α无公共点

又∵直线a⊂α

∴直线l与直线a无公共点．

故选：D．

18．设m，n为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是（

）

A．m⊥n，m∥α⇒n⊥α

C．m∥n，m∥α⇒n∥α

B．m⊥n，m⊥α⇒n∥α

D．m∥n，m⊥α⇒n⊥α

B．l与α异面

D．l与α没有公共点

【解答】解：对于A，若m⊥n，m∥α时，可能n⊂α或斜交，故错；

对于B，m⊥n，m⊥α⇒n∥α或m⊂α，故错；

对于C，m∥n，m∥α⇒n∥α或m⊂α，故错；

对于D，m∥n，m⊥α⇒n⊥α，正确；

故选：D．

19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是（

）

第11页（共14页）

A．

B．

C．

D．

【解答】解：连结BC1，∵AC∥A1C1，

∴∠C1A1B是异面直线A1B与AC所成角（或所成角的补角），

∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，

∴AB＝，，BC1＝＝，A1C1＝1，

∴cos∠C1A1B＝＝．

＝，

∴异面直线A1B与AC所成角的余弦值为故选：D．

20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（

）

A．MN∥PD

C．MN∥AD

B．MN∥PA

D．以上均有可能

【解答】解：四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，

第12页（共14页）

MN⊂平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，

由直线与平面平行的性质定理可得：MN∥PA．

故选：B．

21．已知直线a，b，平面α，满足a⊂α，则使b∥α的条件为（

）

A．b∥a

B．b∥a且b⊄α

C．a与b异面

D．a与b不相交

【解答】解：∵a⊂α，

∴b∥a⇒b∥α，或b⊂α，故A不成立；

b∥a且b⊄α⇒b∥α，故B成立；

a与b异面⇒b∥α或b与α相交，故C不成立；

a与b不相交⇒b∥α或b⊂α或b与α相交，故D不成立．

故选：B．

22．下列说法正确的是（

）

A．三点确定一个平面

B．一条直线和一个点确定一个平面

C．梯形一定是平面图形

D．过平面外一点只有一条直线与该平面平行

【解答】解：∵不在一条直线上的三点确定一个平面，三点在一条直线上时不能确定平面∴A不正确；

∵点在直线上时，不能确定平面，∴B不正确；

∵梯形有两条边平行，两条平行线确定一个平面，梯形的两腰也在平面内，∴C正确；

∵过平面外一点与平面平行的平面内，过该点的直线都符合条件，∴D不正确．

故选：C．

23．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（

）

A．一条直线不相交

C．无数条直线不相交

B．两条直线不相交

D．任意一条直线不相交

【解答】解：根据线面平行的定义可知直线与平面无交点

∵直线a∥平面α，∴直线a与平面α没有公共点

从而直线a与平面α内任意一直线都没有公共点，则不相交

故选：D．

24．已知直线a⊂α，给出以下三个命题：

第13页（共14页）

①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；

②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；

③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β．

其中正确的命题是（

）

A．②

B．③

C．①②

D．①③

【解答】解①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；因为直线a⊂α，平面α∥平面β，则α内的每一条直线都平行平面β．显然正确．

②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；因为当平面α与平面β相加时候，仍然可以存在直线a⊂α使直线a∥平面β．故错误．

③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β，平面内有一条直线不平行与令一个平面，两平面就不会平行．故显然正确．

故选：D．

第14页（共14页）