3.3.4 两条平行直线间的距离教学内容

教学设计

3．3.4

两条平行直线间的距离

文山市第一中学

廖严

教学分析

在上两条平行直线间的距离之前，我们已经学习了点到直线的距离。点到直线的距离是“直线与方程”这一节的重点内容，它是解决点线、线线间的距离的基础，也是研究直线与圆的位置关系的主要工具．

点到直线的距离公式的推导方法很多，可探究的题材非常丰富．除了本节课可能探究到的方法外，还有应用三角函数、应用向量等方法．因此“课程标准”对本节教学内容的要求是：“探索并掌握点到直线的距离公式，从而探索出两条平行线间的距离公式．”希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想，化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维．根据本节课的内容特点是：学习方法为接受学习与发现学习相结合．学生的探究并不是漫无边际的探究，而是在教师引导之下的探究；教师也要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程，使学生在教师和其他同学的帮助下，充分体验到自己作为学习的主体进行探索、发现和创造的乐趣．

三维目标

1．让学生掌握上一节课的点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离．

2．引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新．培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作．

重点难点

教学重点：点到直线距离公式的推导和应用．

教学难点：对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立．

课时安排

1课时

教学过程

一．复习

1.

点到直线的距离的概念

点到直线的垂直线段的长度叫做点到直线的距离。

2.

点到直线的距离公式: dAx0By0CAB22

二．新课讲授

1 . 导入新课

思路1. 回顾点到直线的距离公式及推导过程：

例如

：求点P(0,5)到直线y＝2x的距离是多少？

1

d直线到直线的距离可转化为点到直线的距离

推进新课

新知探究

提出问题

例如：求任意两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离

. 分析：引导学生探索两平行线之间的距离公式（根据以上例题得：求具体两平行直线间的距离推导出一般情况，即：由特殊到一般的过程）

2 解：略

更进一步在平面直角坐标系中研究：如果已知任意一点P的坐标为(x0，y0)，直线l的方程是Ax＋By＋C＝0，怎样由点P的坐标和直线L的方程直接求点P到直线l的距离呢？

思路2.在学习点到直线的距离之前，我们已经学习了两点间的距离，且求点到直线的距离可以转换为之前学的两点间的距离公式来求．因此，求两平行直线间的距离能否转化为点到直线的距离来求呢？如果能，又如何转化？下面就一起来探索这个问题。

例如：求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。

l1:2x-7y+8=0

l2: 2x-7y-6=0

两平行线间的距离处处相等

在l2上任取一点，例如P(3,0)

P到l1的距离等于l1与l2的距离

22

y

O

x

P(3,0)

237082(7)1414535353

解：设P0x0,y0是直线AxBxC10上任意一点，则点p0到直线AxBxC20的距离为dAx0By0C2AB22.又Ax0By0C10，即Ax0By0C1，∴dC2C1AB22. 讨论结果：①已知点P(x0，y0)和直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P到直线l的距离公式为dC2C1AB22

②当A＝0或B＝0时，上述公式也成立．

③两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0的距离公式为d应用示例

例题：求两平行直线l1：2x－7y－6＝0与直线l2：2x－7y＋8＝0间的距离．

点评：根据两平行线间的距离公式dC2C1AB22

. C2C1ABC2C1A2B222很快解决问题。

解：A=2，B=-7，C1=-6,C2=8,由

d变式训练

得d8622721453

53求两平行线l1：3x-2y－1＝0，l2：6x—4y +2＝0的距离．

C2C1A2B2114921313

解：d题型一

例1 已知直线

l1:2x7y80

和

l2:6x21y-10

,l1与l2是否平行？若平行,求l1与l2

的距离. 解：略

例2.

两平行线

l1:3x2y10

和

6x4y20的距离是

解：略

3

题型二

例题1. 求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线的方程. 解：略

例题2.求与直线LL2:2xy102

1:2xy30,

的距离相等的直线L的方程。

解：略

课堂小结

通过本节学习，要求大家：

1．掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离．

2．构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新．培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作．

3．本节课重点应用平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用．

作业

课本习题3.3

A组9、10；B组2、4. 设计感想

对本节课的教学内容的处理，采用探究式的教学方法，通过设问、启发、铺垫，为学生搭建探究问题的平台，让学生在问题情境中，自己去观察、归纳、猜想并证明公式，经历数学建模的过程，在自主探究、合作交流中获得知识，在多角度、多方面的解决问题中，使不同层次的学生都能有所收获与发展．根据本节课的内容特点，学习方法为接受学习与发现学习相结合．学生的探究并不是漫无边际的探究，而是在教师引导之下的探究；教师也要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程，使学生在教师的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣．

备课资料

备用习题

1．求直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0,1)对称的直线方程．

分析：中心对称的两条直线是互相平行的，并且这两条直线与对称中心的距离相等．

解：设所求直线方程为2x＋11y＋C＝0，运用点到直线的距离可得c=16或C＝－38. ∴所求直线为2x＋11y－38＝0. 2．已知正方形ABCD的相对顶点A(0，－1)和C(2,5)，求顶点B和D的坐标．

答案：B(4,1)，D(－2,3)．

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