阅读与思考 坐标法与机器证明优秀教学设计

《圆的标准方程》教案

齐市第三十二中学

赵天民

1.教学目标

(1)知识目标: 1.在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程; 2.会由圆的方程写出圆的半径和圆心,能根据条件写出圆的方程. (2)能力目标: 1.进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力; 2.使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解; 3.增强学生用数学的意识. (3)情感目标:培养学生主动探究知识、合作交流的意识,在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣. 2.教学重点.难点

(1)教学重点:圆的标准方程的求法及其应用. (2)教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰

当的坐标系解决与圆有关的实际问题. 3.教学过程

(一)创设情境(启迪思维) 问题一:已知隧道的截面是半径为4m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7m,高为3m的货车能不能驶入这个隧道? [引导] 画图建系

[学生活动]:尝试写出曲线的方程(对求曲线的方程的步骤及圆的定义进行提示性复习) 解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在直线为x轴,建立直角坐标系,则半圆的方程为x2 y2=16(y≥0)

将x=2.7代入,得

. 即在离隧道中心线2.7m处,隧道的高度低于货车的高度,因此货车不能驶入这个隧道。

(二)深入探究(获得新知) 问题二:1.根据问题一的探究能不能得到圆心在原点,半径为

的圆的方程? 答:x2 y2=r2 2.如果圆心在

,半径为

时又如何呢? [学生活动] 探究圆的方程。

[教师预设] 方法一:坐标法

如图,设M(x,y)是圆上任意一点,根据定义点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合P={M||MC|=r} 由两点间的距离公式,点M适合的条件可表示为

①

把①式两边平方,得(x―a)2 (y―b)2=r2

方法二:图形变换法

方法三:向量平移法

(三)应用举例(巩固提高) I.直接应用(内化新知) 问题三:1.写出下列各圆的方程(课本P77练习1) (1)圆心在原点,半径为3; (2)圆心在

,半径为

; (3)经过点

,圆心在点

. 2.根据圆的方程写出圆心和半径

(1) ; (2) . II.灵活应用(提升能力) 问题四:1.求以

为圆心,并且和直线

相切的圆的方程. [教师引导]由问题三知:圆心与半径可以确定圆. 2.已知圆的方程为

,求过圆上一点

的切线方程. [学生活动]探究方法

[教师预设] 方法一:待定系数法(利用几何关系求斜率-垂直) 方法二:待定系数法(利用代数关系求斜率-联立方程) 方法三:轨迹法(利用勾股定理列关系式) [多媒体课件演示] 方法四:轨迹法(利用向量垂直列关系式) 3.你能归纳出具有一般性的结论吗? 已知圆的方程是

,经过圆上一点

的切线的方程是: . III.实际应用(回归自然) 问题五:如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱

的长度(精确到0.01m). [多媒体课件演示创设实际问题情境] (四)反馈训练(形成方法) 问题六:1.求以C(-1,-5)为圆心,并且和y轴相切的圆的方程. 2.已知点A(-4,-5),B(6,-1),求以AB为直径的圆的方程. 3.求圆x2 y2=13过点(-2,3)的切线方程. 4.已知圆的方程为

,求过点

的切线方程. (五)小结反思(拓展引申) 1.课堂小结: (1)圆心为C(a,b),半径为r 的圆的标准方程为: 当圆心在原点时,圆的标准方程为: (2) 求圆的方程的方法:①找出圆心和半径;②待定系数法

(3) 已知圆的方程是

,经过圆上一点

的切线的方程是: (4) 求解应用问题的一般方法 2.分层作业:(A)巩固型作业:课本P81-82:(习题7.6)1.2.4 (B)思维拓展型作业: 试推导过圆

上一点

的切线方程. 3.激发新疑: 问题七:1.把圆的标准方程展开后是什么形式? 2.方程: 的曲线是什么图形? 教学设计说明

圆是学生比较熟悉的曲线,初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究,因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用。.首先,在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上,用实际问题引导学生探究获得圆的标准方程,然后,利用圆的标准方程由浅入深的解决问题,并通过圆的方程在实际问题中的应用,增强学生用数学的意识。另外,为了培养学生的理性思维,我分别在引例和问题四中,设计了两次由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力。在问题的设计中,我用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,并且使学生的有效思维量加大,随时对所学知识和方法产生有意注意,能力与知识的形成相伴而行,这样的设计不但突出了重点,更使难点的突

破水到渠成. 本节课的设计了五个环节,以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想。应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,在解决问题的同时锻炼了思维.提高了能力、培养了

兴趣、增强了信心.