4.3.2 空间两点间的距离公式ppt课件教学实录

第三章

直线与方程

3.3.2

两点间的距离

两点间的距离是中学学习的主要内容之一,在高中数学中占有重要地位,点是组成空间几何体最基本的元素之一,两点间的距离也是最简单的一种距离。本章是用坐标法研究平面中的直线,而点是确定直线位置的几何要素之一。对本节的研究,为点到直线的距离公式、两条平行直线的距离公式的推导以及后面空间中两点间距离和圆锥曲线奠定了基础,具有重要作用。

课程目标

A.

掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；

B.并能运用两点间的距离公式解决实际问题；

C.通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性. 学科素养

1.数学抽象：如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题；

2.逻辑推理：两点间的距离公式的推导；

3.数学运算：运用两点间的距离公式解决一些简单问题；

4.直观想象：了解数形结合、分类讨论的数学思想方法；

5.数学建模：通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性.

1.教学重点：运用两点间的距离公式解决实际问题及掌握运用坐标法证明简单几何问题的步骤，形成数形结合的意识;

2.教学难点：体会不同的坐标系建立方式对运用坐标法证明简单的平面几何问题的影响。

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一、导入新课

(1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?

(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|. 二、提出问题

①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求? ②求点B(3，4)到原点的距离. ③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|. ④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程). 讨论结果：①|AB|=|xB-xA|,|CD|=|yC-yD|. ②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5. ③

图1

在直角坐标系中，已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，如图1,从P1、P2分别向x轴和y轴作垂线P1M1、P1N1和P2M2、P2N2，垂足分别为M1(x1，0)、N1(0，y1)、M2(x2，0)、N2(0，y2)，其中直线P1N1和P2M2相交于点Q.

在Rt△P1QP2中，|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2.

因为|P1Q|=|M1M2|=|x2-x1|,|QP2|=|N1N2|=|y2-y1|，

所以|P1P2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2. 22由此得到两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|=(x2x1)(y2y1). ④(a)我们先计算在x轴和y轴两点间的距离. (b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形. (c)猜想了任意两点间距离公式. (d)最后求平面上任意两点间的距离公式.

这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用! 例1、已知点A(-1，2)，B(2，7)，在x轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.

解:设所求点P(x，0)，于是有(x1)2(02)2(x2)2(07)2. 由|PA|=|PB|,得x2+2x+5=x2-4x+11,解得x=1. 22即所求点为P(1，0),且|PA|=(11)(02)=22. 例2、证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。

证明：如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A (0 , 0)，设B

(a , 0)，D (b , c)，由平行四边形的性质的点C的坐标为

(a + b , c)，

因为|AB|2a2,|CD|2a2,|AD|2b2c2|BC|2，

|AC|2(ab)2c2,|BD|2(ba)2c2，

所以，|AB|2|BC|2|CD|2DA|22(a2b2c2)|AC|2|BD|2，

因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

上述解决问题的基本步骤可以归纳如下：

第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。

第二步：进行有关代数运算。

第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。

思考：是否还有其它的解决办法？（还可用综合几何的方法证明这道题。）

三、达标检测

1．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于(

) A．5 C.13 【解析】

|MN|＝【答案】

A

2.已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为(

) A．1 C．1或－5 【解析】

由两点间距离公式得

(－2－a)2＋(－1－3)2＝52，

∴(a＋2)2＝32，∴a＋2＝±3，即a＝1，或a＝－5. 【答案】

C

3、设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于________. 【解析】

设A(x,0)，B(0，y)，∵AB的中点为P(2，－1)，

xy∴＝2，＝－1，∴x＝4，y＝－2，即A(4,0)，B(0，－2)，∴|AB|＝42＋22＝25. 22【答案】

25

4、已知△ABC的三个顶点坐标是A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)．

(1)判断△ABC的形状；

B．－5 D．－1或5 ＋2B.37 D．4 ＋－2＝5.

(2)求△ABC的面积．

【解析】

(1)法一

∵|AB| ＝|AC|＝又|BC|＝＋2＋－3－22＝213，

2＋－＋2－＋＝213，

2＋＝226，

∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，

且|AB|＝|AC|，

∴△ABC是等腰直角三角形．

7－1法二

∵kAC＝1－－－3－132＝，kAB＝＝－，

233－－则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又|AC|＝|AB|＝＋＋22＋－22＝213，

＋－3－＝213，

∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形．

11(2)△ABC的面积S△ABC＝|AC|·|AB|＝×213×213＝26. 22