第四章 圆与方程（通用）国家获奖教案

【新课教学过程设计（一）】

第四章

圆与方程

第4.1.1节

圆的标准方程

（一）自主学习

1.

圆心为A(a,b)，半径长为r的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2；

特别地，圆心在原点，半径为r的圆的标准方程为x2y2r2.

2.

已知点M0(x0,y0)，圆A：(xa)2(yb)2r2，

点M0在圆A内(x0a)2(y0b)2r2；

点M0在圆A上(x0a)2(y0b)2r2；

点M0在圆A外(x0a)2(y0b)2r2.

（二）典型例题

【例1】（１）求以点A(1,2)为圆心，并且和x轴相切的圆的方程；

（２）已知两点P(4,9)，Q(6,3)，求以线段PQ为直径的圆的方程．

【分析】（１）已知与圆心坐标和该圆与x轴相切即可求出半径．

（２）根据PQ为直径可以得到相应的圆心与半径．

【解析】（１）因为圆与x轴相切，

所以该圆的半径即为圆心A(1,2)到x轴的距离2；

所以圆的标准方程为：(x1)(y2)4．

（２）因为PQ为直径，

所以PQ的中点M为该圆的圆心即M(5,6)，

又因为|PQ|所以r22[来源:Z#xx#k.Com]

(64)2(39)2436210，

|PQ|10，

222所以圆的标准方程为：(x5)(y6)10．

动动手：填表，填出圆的圆心和半径：

方程

圆心

半径

(x2)2(y3)27

(2,3)

7

(x5)2(y4)218

(5,4)

32

(0,1)

x2(y1)23

3

(0,0)

12

x2y2144

(4,0)

(x4)2y24

2

【例2】ABC的三个顶点的坐标为A(5,1)、B(7,3)、C(2,8)，求它的外接圆的标准方程．

【分析】可设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，求出圆心和半径；也可以根据三角形外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点求出圆心．

【解析】方法一：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，

因为A(5,1)、B(7,3)、C(2,8)在圆上，所以有

(5a)2(1b)2r2222(7a)(3b)r，

(2a)2(8b)2r2解得a2，b3，r5，

所以，所求圆的方程为(x2)2(y3)225．

方法二：线段AB的中点为(6,1)，直线AB的斜率为k1所以线段AB的垂直平分线的方程为y1312，

751(x6)，即2xy110 ①

2831，

911线段BC的中点为(,)，直线BC的斜率为k2272211x9，即xy100 ②

所以线段BC的垂直平分线的方程为y2222解①②得x2，y3，即圆心的坐标为(2,3)，r(25)(31)5，

所以，所求圆的方程为(x2)2(y3)225．[来源:学科网]

4y【例４】已知隧道的截面是半径为4m的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为3m，高为3.5m的货车能不能驶入这个隧道？

【分析】建立直角坐标系，由图象可以分析，

关键在于写出半圆的方程，对应求出当x3时的值，比较得出结论．

【解析】以某一截面半圆的圆心为原点，半圆的直径

AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，如图所示，

[来源:Zxxk.Com]xA03B那么半圆的方程为：xy16(y0)

将x3代入得

22y16327933.5，

即离中心线3m处，隧道的高度低于货车的高度，因此，该货车不能驶入这个隧道．

动动手：假设货车的最大的宽度为am，那么货车要驶入高隧道，限高为多少？

2【解析】将xa代入得y16a，即限高为16a2m．

（三）、总结提升：

1. 圆的标准方程：

方程(xa)2(yb)2r2(r0)表示圆心为A(a,b)，半径长为r的圆.

2.

求圆的标准方程的常用方法：

（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；

（2）待定系数法：先根据条件列出关于a、b、r的方程组，然后解出a、b、r，再代入标准方程. （四）、反馈练习：

1．圆(x2)2(y3)22的圆心和半径分别是

（

D

）

A．(2,3)，1

B．(2,3)，3

C．(2,3)，2

D．(2,3)，2

2．过点A(1,1)、B(1,1)且圆心在直线xy20上的圆的方程是（

C

）

A.(x3)2(y1)24

B.(x3)2(y1)24

C. (x1)2(y1)24

D. (x1)2(y1)24

3.写出下列圆的标准方程

（1）圆心在C(3,4)，半径长为5的圆的标准方程(x3)2(y4)25.

（2）圆心在C(8,3)，且过点M(5,1)的圆的标准方程(x8)2(y3)225.

4．点M(a,a)与圆(xa)2(ya)22a2的位置关系是点M在圆

外

. *5．圆C：(x5)2(y4)26关于直线xy0对称的圆的方程是

(x4)2(y5)26.

6．求过两点A(0,4)，B(4,6)，且圆心在直线x2y20上的圆的标准方程．

【解析】设圆心坐标为(a,b)，圆半径为r，则圆方程为(xa)(yb)r，

因为圆心在直线x2y20上，

所以a2b20 ①

又因为圆过两点A(0,4)，B(4,6)，

所以(0a)2(4b)2r2 ②[来源:学科网]222

且(4a)2(6b)2r2 ③

由①、②、③得：a4,b1,r5，

∴圆方程为(x4)2(y1)225．

[来源学。科。网Z。X。X。K]