习题4.1优秀教学设计范文

教材章节：§4．1．1

课题圆的标准方程

教学目标：

（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程．

（2）会用待定系数法求圆的标准方程．

重

点：圆的标准方程．

难

点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程．

教学过程：

在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程具有什么特征？

一、圆的标准方程

根据圆的定义用轨迹法求圆的方程（见课本P118）．

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r

(其中a,b,r都是常数，r0)．设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的PMMAr，由两点间的距离公式(xa)(yb)r ①．

化简可得：(xa)2(yb)2r2

②．22即圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2，其中圆心为：C(a,b)，半径为：r．

当圆心在原点时，圆的标准方程为：x2y2r2．

例1．写出下列方程表示的圆的圆心和半径：

（1）x2(y3)22；（2）(x2)2(y1)2a2(a0)．

解：（1）圆心为(0,3)，半径为2；

（2）圆心为(2,1)，半径为a．

二、求圆的标准方程

例2．（见教材P119

例1）

写出圆心为A(2,3)，半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5,7),M2(5,1))是否在这个圆上．

解：满足条件的圆的标准方程为(x2)(y3)25．

∵

(52)(73)25，∴

M1在这个圆上．

∵

(52)(13)25，∴

M2不在这个圆上．

222总结：点与圆的位置关系及判断方法：圆C：(xa)(yb)r，点M(m,n)．

222222点M在圆C内：(ma)(nb)r；

点M在圆C上：(ma)(nb)r；

点M在圆C外：(ma)(nb)r．

例3．（见教材P119

例2）

ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7,3)，C(2,8)，求它的外接圆的方程．

解：设所求圆的方程是(xa)(yb)r①222222222222因为A(5,1)，B(7,3)，C(2,8)，在圆上，所以它们的坐标都满足方程①．

(5a)2(1b)2r2222(7a)(3b)r于是222(2a)(8b)r

a2解此方程组，得：b32r25

1

所以，ABC的外接圆的方程是(x2)2(y3)225．

另解：

例4．（见教材P120

例3）

已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2)，且圆心C在l:xy10上，求圆心为C的圆的标准方程．

解：因为A(1,1)，B(2,2)，所以线段AB的中点D的坐标为(,)，直线AB的斜率3212kAB213，

21113(x)，

232因为线段AB的垂直平分线l的方程是：y即x3y30．

x3y30x3圆心C的坐标是方程组的解．解此方程组，得

xy10y2所以圆心C的坐标是(3,2)．

圆心为C的圆的半径长rAC5．

所以，圆心为C的圆的标准方程是(x2)2(y3)225．

例5．已知两点P14,9和P26,3，求以P1P2为直径的圆的方程，并且判断点解法一：（待定系数法）

根据已知条件，圆心Ca,b是P1P2的中点，那么它的坐标为

M6,9,N3,3,Q5,3是在圆上，在圆内，还是在圆外．

a46935,b6．

22再根据两点的距离公式，得圆的半径是

45296210．

22因此所求圆的方程是x5y610．

分别计算点M6,9,N3,3,Q5,3与圆心Ca,b的距离，得

rCP1CM10；CN1310；CQ310

因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．

解法二：（轨迹法）

因为P1P2为直径，所以圆上任意一点与P1,P2的连线互相垂直．

设M(x,y)为所求圆上任意一点，∵MPkMP21．

1MP2，∴kMP1即

y9y31x2y210x12y510．化为：

x4x6(x5)2(y6)210即为所求方程．

2

例6．已知圆心坐标C(2,1)，且被直线l:xy10截得的弦长为22，求圆的方程．

解：设所求方程为：(x2)2(y1)2r2，

∵弦心距d2(1)12∴所求圆的方程为：(x2)2(y1)24．

2，又半弦长为2，∴半径r222．

说明：应用待定系数法求圆的方程，主要是确定圆心坐标和圆的半径，而求半径时经常要用到平面几何中所学到的圆的性质定理．

例6．求圆(x2)2(y1)21关于（1）原点；（2）直线xy30对称的圆的方程．

解法一：

（1）圆上任意一点M(x,y)关于原点的对称点为M(x,y)，以M点的坐标代换方程中的x,y即可得到所求方程为：(x2)2(y1)21．

（2）圆上任意一点M(x,y)关于直线xy30的对称点为M(y3,x3)，以M点的22坐标代换方程中的x,y即：(y32)(x31)1，整理得所求方程为：(x4)2(y5)21．

解法二：由已知得圆心为：C(2,1)，半径为：r1．

（1）∵点C关于原点的对称点为：C(2,1)，

∴所求方程为：(x2)2(y1)21．

（2）∵点C关于直线xy30的对称点为：C(4,5)，

∴所求方程为：(x4)(y5)1．

说明：因为圆的对称图形是和它半径相等的圆，仅只是改变了圆心的位置，因此只需要求出圆心的对称点即可．

三、课堂练习

见教材P120

练习

四、课堂小结

1．圆的标准方程．

2．点与圆的位置关系的判断方法．

3．根据已知条件求圆的标准方程的方法．

五、作业设计

22

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